Постройте график функции y = { x² + 4x - 1, если x ≥ -4; x, если x < -4. }

Решение:

Для построения графика функции, состоящей из двух частей, построим каждую часть отдельно и учтем условие на \( x \).

1. Первая часть: \( y = x^2 + 4x - 1 \) при \( x \ge -4 \).
• Это парабола. Найдем вершину параболы. Абсцисса вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \).
• Ордината вершины: \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \). Вершина в точке \( (-2, -5) \).
• Значение функции на границе интервала: при \( x = -4 \), \( y = (-4)^2 + 4(-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \). Точка \( (-4, -1) \).
• Возьмем еще несколько точек для \( x \ge -4 \), например \( x = 0 \), \( y = -1 \); \( x = 1 \), \( y = 1+4-1=4 \).
2. Вторая часть: \( y = x \) при \( x < -4 \).
• Это прямая линия.
• На границе интервала: при \( x = -4 \), \( y = -4 \). Точка \( (-4, -4) \).
• Возьмем еще одну точку для \( x < -4 \), например \( x = -5 \), \( y = -5 \).
3. Построение графика:
• Отмечаем на координатной плоскости вершину параболы \( (-2, -5) \).
• Отмечаем точку \( (-4, -1) \) (она принадлежит первой части графика).
• Строим ветви параболы, учитывая, что они идут вверх.
• Отмечаем точку \( (-4, -4) \) (она принадлежит второй части графика).
• Строим луч прямой \( y=x \) для \( x < -4 \), начиная от точки \( (-4, -4) \) и уходя влево вниз.
• Обратите внимание, что при \( x = -4 \) значение \( y = -1 \) (точка \( (-4, -1) \) — закрашенная), а значение \( y = -4 \) (точка \( (-4, -4) \) — выколотая).

Ответ: график состоит из части параболы \( y = x^2 + 4x - 1 \) для \( x \ge -4 \) с вершиной в \( (-2, -5) \) и части прямой \( y = x \) для \( x < -4 \).