Постройте график функции y= -x³+6x²-5

Решение:

Для построения графика функции \( y = -x^3 + 6x^2 - 5 \) найдём её производную и точки экстремума.

1. Производная:

\( y' = (-x^3 + 6x^2 - 5)' = -3x^2 + 12x \)

2. Точки экстремума (приравняем производную к нулю):

\( -3x^2 + 12x = 0 \)

\( -3x(x - 4) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x = 4 \)

3. Найдем значения функции в этих точках:

При \( x = 0 \): \( y = -(0)^3 + 6(0)^2 - 5 = -5 \). Точка минимума (0, -5).

При \( x = 4 \): \( y = -(4)^3 + 6(4)^2 - 5 = -64 + 6(16) - 5 = -64 + 96 - 5 = 32 - 5 = 27 \). Точка максимума (4, 27).

4. Найдём точки пересечения с осью ОХ (при \( y = 0 \)):

\( -x^3 + 6x^2 - 5 = 0 \). Это кубическое уравнение, которое не решается простыми методами. Приблизительные корни можно найти численно.

5. Построим график, используя найденные точки и характер поведения кубической параболы.

Ответ: График построен с использованием точек экстремума (0, -5) и (4, 27).