Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для построения графика функции \( y = x^2 - 9x - 2|x-4| + 20 \) раскроем модуль \( |x-4| \).
1. Случай: \( x-4 \ge 0 \), то есть \( x \ge 4 \).
В этом случае \( |x-4| = x-4 \).
Функция принимает вид:
\( y = x^2 - 9x - 2(x-4) + 20 \)
\( y = x^2 - 9x - 2x + 8 + 20 \)
\( y = x^2 - 11x + 28 \)
Это парабола. Найдем вершину параболы \( x_в = -\frac{-11}{2 \cdot 1} = \frac{11}{2} = 5.5 \).
Значение \( x = 5.5 \) попадает в область \( x \ge 4 \).
Найдем значение \( y \) в вершине: \( y_в = (5.5)^2 - 11(5.5) + 28 = 30.25 - 60.5 + 28 = -2.25 \).
Найдем значение функции на границе области \( x=4 \): \( y = 4^2 - 11(4) + 28 = 16 - 44 + 28 = 0 \).
2. Случай: \( x-4 < 0 \), то есть \( x < 4 \).
В этом случае \( |x-4| = -(x-4) = -x+4 \).
Функция принимает вид:
\( y = x^2 - 9x - 2(-x+4) + 20 \)
\( y = x^2 - 9x + 2x - 8 + 20 \)
\( y = x^2 - 7x + 12 \)
Это парабола. Найдем вершину параболы \( x_в = -\frac{-7}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3.5 \).
Значение \( x = 3.5 \) попадает в область \( x < 4 \).
Найдем значение \( y \) в вершине: \( y_в = (3.5)^2 - 7(3.5) + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 \).
Найдем значение функции на границе области \( x=4 \) (предельное значение, так как \( x < 4 \)): \( y = 4^2 - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0 \). Это значение совпадает со значением на границе в первом случае, что и должно быть.
Построение графика:
Функция состоит из двух частей параболы:
- При \( x \ge 4 \): \( y = x^2 - 11x + 28 \), ветвь параболы с вершиной \( (5.5, -2.25) \), начинается из точки \( (4, 0) \).
- При \( x < 4 \): \( y = x^2 - 7x + 12 \), ветвь параболы с вершиной \( (3.5, -0.25) \), идёт до точки \( (4, 0) \).
Определение значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки:
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.
- Если \( m > 0 \), прямая пересекает график в двух точках.
- Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в трех точках: \( (4, 0) \), и две точки на ветке \( y = x^2 - 7x + 12 \) (так как \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) имеет корни \( x=3 \) и \( x=4 \), но \( x=4 \) уже учтено).
- Если \( -0.25 < m < 0 \), прямая пересекает график в четырех точках.
- Если \( m = -0.25 \), прямая проходит через вершину \( (3.5, -0.25) \) и пересекает график в двух точках.
- Если \( -2.25 < m < -0.25 \), прямая пересекает график в двух точках.
- Если \( m = -2.25 \), прямая проходит через вершину \( (5.5, -2.25) \) и пересекает график в двух точках.
- Если \( m < -2.25 \), прямая не пересекает график.
Три общие точки возникают, когда прямая \( y=m \) проходит через точку \( (4, 0) \) (где две ветви соединяются), и пересекает одну из вершин.
Это происходит при \( m = 0 \) (прямая проходит через \( (4,0) \) и пересекает \( y=x^2-7x+12 \) в точке \( (3,0) \) и \( y=x^2-11x+28 \) в точке \( (4,0) \) )
Еще три точки получаются, когда прямая параллельна оси абсцисс и проходит через вершину одной из парабол.
При \( m = 0 \) прямая \( y=0 \) пересекает график в точках \( x=3 \) (где \( x<4 \)) и \( x=4 \) (где \( x \ge 4 \), это точка слияния). И еще одна точка на ветке \( x<4 \), где \( y=x^2-7x+12=0 \), это \( x=4 \) и \( x=3 \). То есть точки \( (3,0) \) и \( (4,0) \).
У нас есть две вершины: \( (3.5, -0.25) \) и \( (5.5, -2.25) \).
Когда \( m = 0 \), прямая \( y=0 \) проходит через точку \( (4,0) \) и точку \( (3,0) \) (корень \( x^2-7x+12=0 \)). Это две точки. Нужно еще одна.
Три точки получаются, когда прямая проходит через вершину одной из парабол, при этом пересекая другую ветвь.
Случай 1: \( m = -0.25 \). Прямая \( y=-0.25 \) проходит через вершину \( (3.5, -0.25) \) (1 точка), пересекает ветвь \( x extgreater= 4 \) (2 точки). Итого 3 точки.
Случай 2: \( m = -2.25 \). Прямая \( y=-2.25 \) проходит через вершину \( (5.5, -2.25) \) (1 точка), пересекает ветвь \( x < 4 \) (2 точки). Итого 3 точки.
Ответ: \( -2.25 \) и \( -0.25 \).
