Постройте график функции y = |x² - x - 5| и определите, при каких значениях c прямая y = c + 1 имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 - x - 5 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \), \( y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -5.25 \).

Теперь построим график функции \( y = |x^2 - x - 5| \). Для этого отрицательные значения \( y = x^2 - x - 5 \) отразим относительно оси Ox.

График функции \( y = c + 1 \) — это горизонтальная прямая.

Нам нужно найти значения \( c \), при которых прямая \( y = c + 1 \) пересекает график \( y = |x^2 - x - 5| \) в двух точках.

Рассмотрим значения \( y \) на графике \( y = |x^2 - x - 5| \):

• Минимальное значение \( y \) равно 0 (в точках пересечения с осью Ox).
• Значение \( y \) в вершине отраженной части графика равно \( -y_в = -(-5.25) = 5.25 \).
• Наибольшее значение \( y \) стремится к бесконечности.

Прямая \( y = c + 1 \) будет иметь две общие точки с графиком \( y = |x^2 - x - 5| \) в следующих случаях:

1. Когда \( c + 1 \) равно значению \( y \) в вершине отраженной части графика: \( c + 1 = 5.25 \) => \( c = 4.25 \).
2. Когда \( c + 1 \) меньше минимального значения \( y \) (то есть 0): \( c + 1 < 0 \) => \( c < -1 \).

Следовательно, прямая \( y = c + 1 \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( c = 4.25 \) и при \( c < -1 \).

Ответ: прямая \( y = c + 1 \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( c = 4.25 \) и \( c < -1 \).