Постройте график функции y=\frac{1}{2}(\frac{|x|}{2,5} - \frac{2,5}{x}| + \frac{x}{2,5} + \frac{2,5}{x}). Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Давай разберем эту функцию и построим ее график! Прежде всего, рассмотрим функцию: \[y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} \right| + \frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x} \right)\] Заметим, что функция определена при \(x
eq 0\). Рассмотрим два случая: 1) Если \(\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} \geq 0\), то \(|\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x}| = \frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x}\). В этом случае: \[y = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} + \frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x}{2.5} \right) = \frac{x}{2.5} = \frac{2}{5}x\] Теперь решим неравенство \(\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} \geq 0\): \[\frac{x^2 - 2.5^2}{2.5x} \geq 0\] \[\frac{(x - 2.5)(x + 2.5)}{x} \geq 0\] Решая это неравенство, получаем \(x \in [-2.5, 0) \cup [2.5, +\infty)\). 2) Если \(\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} < 0\), то \(|\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x}| = -\left(\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x}\right) = \frac{2.5}{x} - \frac{x}{2.5}\). В этом случае: \[y = \frac{1}{2} \left( \frac{2.5}{x} - \frac{x}{2.5} + \frac{x}{2.5} + \frac{2.5}{x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{x} \right) = \frac{2.5}{x}\] Неравенство \(\frac{x}{2.5} - \frac{2.5}{x} < 0\) имеет решение \(x \in (-\infty, -2.5) \cup (0, 2.5]\). Таким образом, функция имеет вид: \[y = \begin{cases} \frac{2}{5}x, & x \in [-2.5, 0) \cup [2.5, +\infty) \\ \frac{2.5}{x}, & x \in (-\infty, -2.5) \cup (0, 2.5] \\ \end{cases}\] Теперь определим, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку. 1) Для \(y = \frac{2}{5}x\), если \(x = 2.5\), то \(y = \frac{2}{5} \cdot 2.5 = 1\). Если \(x = -2.5\), то \(y = \frac{2}{5} \cdot (-2.5) = -1\). 2) Для \(y = \frac{2.5}{x}\), если \(x = 2.5\), то \(y = \frac{2.5}{2.5} = 1\). Если \(x = -2.5\), то \(y = \frac{2.5}{-2.5} = -1\). При \(m = 0\) прямая \(y = 0\) пересекает график в одной точке \(x=0\) (выколотая точка). При \(m = 1\) прямая \(y = 1\) пересекает график в одной точке \(x = 2.5\). При \(m = -1\) прямая \(y = -1\) пересекает график в одной точке \(x = -2.5\).

Ответ: m = 0, m = 1, m = -1

Не переживай, если сразу не получается. Главное — не сдаваться!