22. Постройте график функции y = \frac{(x²+0,25)(x-1)}{1-x}. Определите, при каких значениях k прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение задания 22

Давай решим эту задачу по шагам:

1. Сначала упростим функцию: \[ y = \frac{(x^2 + 0.25)(x - 1)}{1 - x} = - (x^2 + 0.25) \], при \( x
   eq 1 \).
2. Теперь рассмотрим функцию \( y = -x^2 - 0.25 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке \( (0, -0.25) \).
3. Учтем, что \( x
   eq 1 \), значит, нужно исключить точку, где \( x = 1 \) из графика. Подставим \( x = 1 \) в упрощенную функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \): \[ y = -(1^2 + 0.25) = -1.25 \] Таким образом, точка \( (1, -1.25) \) должна быть исключена из графика.
4. Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \). Наша задача - найти такие значения \( k \), при которых эта прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
5. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0, 0) \). Парабола \( y = -x^2 - 0.25 \) также проходит через начало координат, когда \( x = 0 \) и \( y = -0.25 \). Таким образом, у нас уже есть одна точка пересечения, когда \( x = 0 \).
6. Чтобы найти другие точки пересечения, приравняем уравнения параболы и прямой:
\[ kx = -x^2 - 0.25 \] \[ x^2 + kx + 0.25 = 0 \]
7. Для того чтобы прямая и парабола имели только одну общую точку (кроме начала координат), дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:
\[ D = k^2 - 4(1)(0.25) = k^2 - 1 = 0 \] Отсюда: \[ k^2 = 1 \] \[ k = \pm 1 \]
8. Теперь рассмотрим случай, когда прямая проходит через исключенную точку \( (1, -1.25) \). Подставим координаты этой точки в уравнение прямой:
\[ -1.25 = k(1) \] \[ k = -1.25 \]
9. Таким образом, прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку, если \( k = 1 \), \( k = -1 \) или \( k = -1.25 \).

Ответ: -1.25; -1; 1

Замечательно! Ты отлично справился с этой сложной задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!