Постройте график функции y = 4|x + 2| - x² - 3x-2. Определите, при каких значениях т прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию \(y = 4|x + 2| - x^2 - 3x - 2\). Раскрываем модуль: \[y = \begin{cases} 4(x + 2) - x^2 - 3x - 2, & \text{если } x \geq -2 \\ -4(x + 2) - x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < -2 \end{cases}\] Упрощаем: \[y = \begin{cases} 4x + 8 - x^2 - 3x - 2, & \text{если } x \geq -2 \\ -4x - 8 - x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < -2 \end{cases}\] \[y = \begin{cases} -x^2 + x + 6, & \text{если } x \geq -2 \\ -x^2 - 7x - 10, & \text{если } x < -2 \end{cases}\] Рассмотрим каждую часть отдельно: 1) Если \(x \geq -2\), то \(y = -x^2 + x + 6\). Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5\] \[y_v = -(0.5)^2 + 0.5 + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25\] Итак, вершина параболы \((0.5; 6.25)\). 2) Если \(x < -2\), то \(y = -x^2 - 7x - 10\). Это парабола с ветвями вниз. Вершина параболы: \[x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-7)}{2(-1)} = \frac{7}{-2} = -3.5\] \[y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 10 = -12.25 + 24.5 - 10 = 2.25\] Итак, вершина параболы \((-3.5; 2.25)\). Найдем значение первой функции в точке x = -2: \[y(-2) = -(-2)^2 + (-2) + 6 = -4 - 2 + 6 = 0\] Найдем значение второй функции в точке x = -2: \[y(-2) = -(-2)^2 - 7(-2) - 10 = -4 + 14 - 10 = 0\] Точка стыковки графиков: \((-2; 0)\). Чтобы прямая \(y = m\) имела ровно три общие точки с графиком, она должна проходить либо через вершину одной из парабол, либо через точку стыковки. Точка стыковки: \((-2; 0)\). Значит, \(m = 0\). Вершина первой параболы: \((0.5; 6.25)\). Значит, \(m = 6.25\). Вершина второй параболы: \((-3.5; 2.25)\). Значит, \(m = 2.25\). Значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки: 0; 2.25; 6.25

Ответ: m = 0; 2.25; 6.25

Превосходно! Ты мастерски определил значения m. Продолжай в том же духе!