№11 Постройте график функции y= { x² + 2x + 1 при х> -2, x+6 при х< -2. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 1 и m = 4

Построим график кусочной функции: y = x² + 2x + 1 при x ≥ -2 y = x + 6 при x < -2

1. График функции y = x² + 2x + 1 при x ≥ -2:

• Это парабола, которую можно упростить до y = (x + 1)²
• Вершина параболы находится в точке (-1, 0)

Найдем значение функции при x = -2:

y = (-2 + 1)² = (-1)² = 1

• Точка (-2, 1) является началом этого участка параболы.

2. График функции y = x + 6 при x < -2:

• Это прямая линия с угловым коэффициентом 1.
• Найдем значение функции при x = -2 (хотя эта точка не включена в график):

y = -2 + 6 = 4

• Прямая приближается к точке (-2, 4), но не включает её.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

• При m = 0 прямая y = 0 пересекает параболу в одной точке (вершина параболы) и не пересекает прямую y = x + 6.
• При m = 1 прямая y = 1 пересекает параболу в точке (-2, 1) и еще в одной точке на параболе. Прямая y = 1 не пересекает прямую y = x + 6. Таким образом, одна точка, но нужно 2.
• Прямая y = 4 касается графика линейной функции в точке x = -2. И еще раз пересекает параболу в точке (-5, 16)

При m = 1, прямая y = 1 проходит через точку (-2, 1) на параболе, что является одной точкой пересечения, и еще одну точку на параболе. Вторая точка на параболе находится где-то между x = -3 и x = -2, так как парабола имеет вид (x + 1)^2.

При m = 4, прямая y = 4 проходит через точку (-2, 4), которая является предельной точкой для графика функции y = x + 6. Кроме того, прямая y = 4 пересечет параболу y = (x + 1)^2 в двух точках (кроме x = -2).

Итак, прямая y = m имеет ровно две общие точки с графиком при m = 1 и m = 4.

Ответ: m = 1 и m = 4