22. Постройте график функции y=x²-5x+10-3|x-2| и определите, при каких значениях а прямая у = а +3 имеет с графиком данной функции три общие точки.

Решение:

Рассмотрим два случая:

1) Если x ≥ 2, то |x - 2| = x - 2, и функция примет вид:

y = x² - 5x + 10 - 3(x - 2) = x² - 5x + 10 - 3x + 6 = x² - 8x + 16 = (x - 4)²

2) Если x < 2, то |x - 2| = -(x - 2), и функция примет вид:

y = x² - 5x + 10 - 3(-(x - 2)) = x² - 5x + 10 + 3(x - 2) = x² - 5x + 10 + 3x - 6 = x² - 2x + 4 = (x - 1)² + 3

Итак, график функции состоит из двух частей:

y = (x - 4)² при x ≥ 2

y = (x - 1)² + 3 при x < 2

Первая часть - парабола с вершиной в точке (4; 0), ветви направлены вверх.

Вторая часть - парабола с вершиной в точке (1; 3), ветви направлены вверх.

Прямая y = a + 3 будет иметь с графиком три общие точки, если она проходит через вершину второй параболы, то есть когда y = 3.

Тогда: a + 3 = 3, следовательно, a = 0.

Ответ: a = 0