20. Решите систему уравнений {x⁴ + y⁴ = 82 {xy = 3

Решение:

Выразим из второго уравнения y через x: y = \(\frac{3}{x}\)

Подставим в первое уравнение:

\(x^4 + (\frac{3}{x})^4 = 82\)

\(x^4 + \frac{81}{x^4} = 82\)

Умножим обе части на x⁴:

\(x^8 + 81 = 82x^4\)

\(x^8 - 82x^4 + 81 = 0\)

Введем замену: t = x⁴, тогда уравнение примет вид:

\(t^2 - 82t + 81 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-82)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 6724 - 324 = 6400\)

\(t_1 = \frac{82 + \sqrt{6400}}{2} = \frac{82 + 80}{2} = 81\)

\(t_2 = \frac{82 - \sqrt{6400}}{2} = \frac{82 - 80}{2} = 1\)

Вернемся к замене:

1) \(x^4 = 81\), следовательно, x = 3 или x = -3

Если x = 3, то y = \(\frac{3}{3}\) = 1

Если x = -3, то y = \(\frac{3}{-3}\) = -1

2) \(x^4 = 1\), следовательно, x = 1 или x = -1

Если x = 1, то y = \(\frac{3}{1}\) = 3

Если x = -1, то y = \(\frac{3}{-1}\) = -3

Ответ: (3; 1), (-3; -1), (1; 3), (-1; -3)