Постройте график кусочно-заданной функции y = {x + 4, если -5 ≤ x < -2; {-x, если -2 < x < 2; {-2, если 2 < x ≤ 5. Укажите: a) ее область определения; б) наибольшее и наименьшее значения функции; в) ее область значений; г) координаты точек пересечения с осями координат.

Для решения задачи построим график кусочно-заданной функции и ответим на вопросы.

1. Построение графика:

Функция задана тремя разными выражениями на разных интервалах:

• y = x + 4, если -5 ≤ x < -2
• y = -x, если -2 < x < 2
• y = -2, если 2 < x ≤ 5

Для построения графика каждой части рассмотрим ключевые точки на заданных интервалах.

2. Анализ и ответы на вопросы:

а) Область определения:

Область определения функции - это все значения x, для которых функция определена. В данном случае, функция определена на отрезке от -5 (включительно) до 5 (включительно).

Область определения: [-5; 5]

б) Наибольшее и наименьшее значения функции:

• На участке y = x + 4 при x = -5, y = -5 + 4 = -1. При x = -2, y стремится к -2 + 4 = 2 (не включая).
• На участке y = -x при x стремящемся к -2, y стремится к 2 (не включая). При x стремящемся к 2, y стремится к -2 (не включая).
• На участке y = -2, y всегда равен -2.

Наибольшее значение функции: 2 (не достигается, но стремится к нему)

Наименьшее значение функции: -2

в) Область значений:

Область значений - это все значения y, которые функция принимает. В данном случае, функция принимает значения от -2 (включительно) до 2 (не включительно).

Область значений: [-2; 2)

г) Координаты точек пересечения с осями координат:

• С осью Oy: Рассмотрим участок y = -x, где x = 0, y = 0. Координаты точки пересечения: (0; 0).
• С осью Ox:
  • Первый случай: y = x + 4 = 0, x = -4. (-4 находится в диапазоне [-5, -2]), таким образом, точка пересечения (-4; 0).
  • Второй случай: y = -x = 0, x = 0. (0;0).
  • Третий случай: y = -2, не пересекает ось Ox, так как y всегда -2.
  Точки пересечения с осью Ox: (-4; 0) и (0; 0).

Итоговые ответы:

• Область определения: [-5; 5]
• Наибольшее значение: 2, Наименьшее значение: -2
• Область значений: [-2; 2)
• Пересечение с осью Oy: (0; 0), Пересечение с осью Ox: (-4; 0), (0; 0)