Постройте графики функций $$y=\frac{4}{x}$$ и $$y = x + 1$$. Укажите координаты точек пересечения этих графиков.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить графики функций $$y = \frac{4}{x}$$ и $$y = x + 1$$.
2. Найти точки пересечения графиков аналитически, решив уравнение $$\frac{4}{x} = x + 1$$.
3. Указать координаты найденных точек.

Шаг 1: Аналитическое решение для нахождения точек пересечения.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения:

$$ \frac{4}{x} = x + 1 $$

Умножим обе части уравнения на $$x$$ (с учетом, что $$x
eq 0$$):

$$ 4 = x^2 + x $$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ x^2 + x - 4 = 0 $$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение $$x^2 + x - 4 = 0$$ с помощью дискриминанта:

Дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17 $$

Корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} $$

Шаг 3: Нахождение координат y.

Найдем соответствующие значения $$y$$ для каждого значения $$x$$, используя уравнение $$y = x + 1$$:

Для $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$$:

$$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{-1 + \sqrt{17} + 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} $$

Для $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$$:

$$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} + 1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + 2}{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} $$

Шаг 4: Запись координат точек пересечения.

Таким образом, координаты точек пересечения графиков:

$$ \left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right) \approx (1.56, 2.56) $$ $$ \left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right) \approx (-2.56, -1.56) $$

Шаг 5: Построение графиков.

Графики построены. Красная линия - это график функции $$y = x+1$$, а синяя линия - график функции $$y=\frac{4}{x}$$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $$\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)$$.