4. Постройте на координатной плоскости а) точки M, F, E, K, если M(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 4). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

а) Построим точки на координатной плоскости:

б) Определим координаты точки пересечения прямых MF и KE.

Для этого нужно найти уравнения прямых MF и KE и решить систему уравнений.

Уравнение прямой MF имеет вид $$y = k_1x + b_1$$.
Подставим координаты точек M(-3; 0) и F(4; 6):
$$0 = -3k_1 + b_1$$
$$6 = 4k_1 + b_1$$
Вычтем первое уравнение из второго: $$6 = 7k_1$$, откуда $$k_1 = \frac{6}{7}$$.
Тогда $$b_1 = 3k_1 = 3 \cdot \frac{6}{7} = \frac{18}{7}$$.
Уравнение прямой MF: $$y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7}$$.

Уравнение прямой KE имеет вид $$y = k_2x + b_2$$.
Подставим координаты точек K(-3; 4) и E(0; -4):
$$4 = -3k_2 + b_2$$
$$-4 = 0 \cdot k_2 + b_2$$, откуда $$b_2 = -4$$.
Тогда $$4 = -3k_2 - 4$$, значит, $$-3k_2 = 8$$, $$k_2 = -\frac{8}{3}$$.
Уравнение прямой KE: $$y = -\frac{8}{3}x - 4$$.

Решим систему уравнений:
$$y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7}$$
$$y = -\frac{8}{3}x - 4$$

Приравняем правые части: $$\frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -\frac{8}{3}x - 4$$
Умножим обе части на 21: $$18x + 54 = -56x - 84$$
$$74x = -138$$
$$x = -\frac{138}{74} = -\frac{69}{37} \approx -1,86$$

Подставим значение $$x$$ в уравнение прямой KE: $$y = -\frac{8}{3} \cdot (-\frac{69}{37}) - 4 = \frac{8 \cdot 69}{3 \cdot 37} - 4 = \frac{8 \cdot 23}{37} - 4 = \frac{184}{37} - \frac{148}{37} = \frac{36}{37} \approx 0,97$$

Ответ: Координаты точки пересечения прямых MF и KE приблизительно (-1,86; 0,97).