Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение в) Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 197, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем AB и AD, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃.

Анализ. Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 197, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение. Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны AB, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку B параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно AB (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой C (рис. 197, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

Доказательство. По построению AB || CD и BC || AD, поэтому ABCD – параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD – искомый.

Исследование. Ясно, что если по трём данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-