Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон. Решение. Даны отрезки $$P_1Q_1$$, $$P_2Q_2$$, $$P_3Q_3$$ (рисунок а). Требуется построить треугольник $$ABC$$, у которого одна из сторон, например $$AB$$, равна данному отрезку $$P_1Q_1$$, еще одна сторона, например $$AC$$, равна данному отрезку $$P_2Q_2$$, а медиана, проведенная к одной из этих сторон, например $$BM$$, равна данному отрезку $$P_3Q_3$$ (рисунок б). Построение. 1) Проведем прямую a и отметим на ней точку $$A$$ (рисунок в). 2) ?

Давайте продолжим построение треугольника $$ABC$$ по заданным сторонам и медиане.

1. Продолжаем с того, что уже проведена прямая $$a$$ и отмечена точка $$A$$ на ней.
2. Отложим на прямой $$a$$ от точки $$A$$ отрезок $$AC$$, равный отрезку $$P_2Q_2$$. Для этого из точки $$A$$ как из центра опишем дугу радиусом, равным длине отрезка $$P_2Q_2$$. Точка пересечения этой дуги с прямой $$a$$ будет точкой $$C$$.
3. Построим окружность с центром в точке $$A$$ радиусом, равным отрезку $$P_1Q_1$$. Это будет геометрическое место точек, где может находиться вершина $$B$$.
4. Теперь нужно найти положение точки $$M$$ — середины стороны $$AC$$. Так как $$AC$$ уже построена, находим середину отрезка $$AC$$ и отмечаем её как точку $$M$$.
5. Построим окружность с центром в точке $$M$$ радиусом, равным $$P_3Q_3 * 2$$.
6. Точка пересечения окружностей с центрами $$A$$ и $$M$$ будет точкой $$D$$.
7. Соединяем точку $$C$$ и $$D$$.
8. На середине отрезка $$CD$$ отмечаем точку $$B$$.
9. Соединяем точки $$A$$ и $$B$$, $$B$$ и $$C$$.
10. Треугольник $$ABC$$ — искомый.

Таким образом, мы построили треугольник $$ABC$$, удовлетворяющий условиям задачи.