Повторить все про векторы, как найти координаты, длину, скалярное произведение, косинус угла между векторами, действия с векторами, уметь строить, выражать один вектор через другой

Конечно, давай повторим все основные понятия, связанные с векторами. **1. Координаты вектора:** Вектор в двумерном пространстве задается двумя координатами: $$\vec{a} = (x, y)$$. В трехмерном пространстве добавляется третья координата: $$\vec{a} = (x, y, z)$$. **2. Длина вектора:** Длина (или модуль) вектора $$\vec{a} = (x, y)$$ вычисляется по формуле: \[|$$\vec{a}$$| = \sqrt{x^2 + y^2}\] Для трехмерного вектора $$\vec{a} = (x, y, z)$$: \[|$$\vec{a}$$| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\] **Пример:** Пусть $$\vec{a} = (3, 4)$$. Тогда его длина: \[|$$\vec{a}$$| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] **3. Скалярное произведение векторов:** Скалярное произведение двух векторов $$\vec{a} = (x_1, y_1)$$ и $$\vec{b} = (x_2, y_2)$$ вычисляется так: \[$$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ = x_1x_2 + y_1y_2\] Или через длины векторов и угол $$\theta$$ между ними: \[$$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ = |$$\vec{a}$$| \cdot |$$\vec{b}$$| \cdot \cos(\theta)\] **Пример:** Если $$\vec{a} = (1, 2)$$ и $$\vec{b} = (3, 4)$$, то: \[$$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11\] **4. Косинус угла между векторами:** Из формулы скалярного произведения можно найти косинус угла между векторами: \[\cos(\theta) = \frac{$$\vec{a} \cdot \vec{b}$$}{|$$\vec{a}$$| \cdot |$$\vec{b}$$|}\] **Пример:** Для векторов $$\vec{a} = (1, 2)$$ и $$\vec{b} = (3, 4)$$: \[|$$\vec{a}$$| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\] \[|$$\vec{b}$$| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\] \[\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{5} \cdot 5} = \frac{11}{5\sqrt{5}}\] **5. Действия с векторами:** - **Сложение:** $$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$$ - **Вычитание:** $$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$$ - **Умножение на скаляр:** k \cdot \vec{a} = (kx_1, ky_1)$$ **Пример:** Если $$\vec{a} = (2, 3)$$ и $$\vec{b} = (1, -1)$$, то: \[$$\vec{a} + \vec{b}$$ = (2 + 1, 3 + (-1)) = (3, 2)\] \[$$\vec{a} - \vec{b}$$ = (2 - 1, 3 - (-1)) = (1, 4)\] \[2 \cdot \vec{a}$$ = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6)\] **6. Уметь строить векторы:** Вектор можно построить на координатной плоскости, отложив его координаты от начала координат (или от любой другой точки). **7. Выражение одного вектора через другой:** Вектор $$\vec{a}$$ можно выразить через вектор $$\vec{b}$$, если $$\vec{a}$$ коллинеарен $$\vec{b}$$ (то есть лежит на той же прямой или параллельной ей). В этом случае существует такое число k, что $$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$$. Надеюсь, этот обзор поможет тебе вспомнить все основные моменты о векторах! Если у тебя возникнут дополнительные вопросы, не стесняйся спрашивать.