Практическая часть. 1. Постройте окружность радиусом 4 см, проходящую через две данные точки М и N, если MN= 5 см. 2. Построить с помощью циркуля середину данного отрезка. Запишите этапы построения. 3. Отложите от данного луча угол, равный данному углу. Постройте с помощью циркуля. Запишите этапы построения. 4. Отрезки MN и PQ – диаметры окружности. Докажите, что хорды MP и QN равны. 5. BD – диаметр окружности с центром в точке О, хорды ВК и DK равны. Докажите, что LB=LD.

1. *Построение окружности через две точки.* 1. Проводим отрезок MN длиной 5 см. 2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку MN. (Проводим две окружности радиусом больше половины MN с центрами в точках M и N. Точки пересечения этих окружностей соединяем прямой. Это и есть серединный перпендикуляр.) 3. На серединном перпендикуляре выбираем точку O, которая будет центром окружности. Расстояние от O до M (или N) должно быть равно 4 см. (Отмеряем циркулем 4 см и ставим ножку циркуля в точку M. Где циркуль пересечет серединный перпендикуляр, там и будет точка O.) 4. Строим окружность с центром в точке O и радиусом 4 см. Эта окружность проходит через точки M и N. 2. *Построение середины отрезка с помощью циркуля.* 1. Пусть дан отрезок AB. Необходимо найти его середину. 2. Строим две окружности одинакового радиуса (больше половины длины отрезка AB) с центрами в точках A и B. 3. Окружности пересекутся в двух точках, назовём их C и D. 4. Проводим прямую CD. Эта прямая пересекает отрезок AB в его середине. Назовём эту точку E. Точка E - середина отрезка AB. 3. *Построение угла, равного данному.* 1. Пусть дан угол ∠BAC. 2. Проводим произвольную окружность с центром в точке A. Она пересекает стороны угла в точках D и E. 3. Строим луч A'B'. 4. Проводим окружность с центром в точке A' того же радиуса, что и первая окружность. Она пересекает луч A'B' в точке D'. 5. Раствором циркуля измеряем расстояние между точками D и E. 6. Проводим окружность с центром в точке D' и радиусом, равным DE. Она пересекает первую окружность в точке E'. 7. Проводим луч A'E'. Угол ∠B'A'E' равен углу ∠BAC. 4. *Доказательство равенства хорд MP и QN.* 1. Дано: MN и PQ - диаметры окружности с центром в точке О. 2. Тогда MO = ON = PO = OQ = R (радиус окружности). 3. ∠MOP и ∠QON - вертикальные углы, следовательно, ∠MOP = ∠QON. 4. Рассмотрим треугольники MOP и QON. У них: MO = OQ = R, PO = ON = R, ∠MOP = ∠QON. 5. Следовательно, треугольники MOP и QON равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MP = QN. 7. Таким образом, хорды MP и QN равны. 5. *Доказательство LB=LD.* 1. Дано: BD - диаметр окружности с центром в точке O, BK = DK. 2. Рассмотрим треугольники BOK и DOK. У них: OK - общая сторона, BK = DK (по условию), BO = DO (как радиусы окружности). 3. Следовательно, треугольники BOK и DOK равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BOK = ∠DOK. 5. Так как ∠BOK и ∠DOK - центральные углы, опирающиеся на дуги BK и DK, то дуги BK и DK равны. 6. ∠LB - вписанный угол, опирающийся на дугу DK; ∠LD - вписанный угол, опирающийся на дугу BK. 7. Так как дуги BK и DK равны, то и вписанные углы, опирающиеся на них, равны: ∠LB = ∠LD.