Практическая работа №2 Задание 1 1) Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности. 2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке. 3) Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.

Задание 1

1) Доказательство того, что точка C лежит на окружности:

Дано: Окружность с центром O, точка A на окружности. Прямая L проходит через A, не касаясь окружности. OB ⊥ L, B — точка на L. BC = AB, C лежит на продолжении AB.

Доказать: C лежит на окружности.

Доказательство:

1. Так как OB — перпендикуляр, опущенный из центра окружности O на прямую L, то OB является расстоянием от O до прямой L.
2. Рассмотрим треугольники OAB и OBC.
3. Угол OBA = Угол OBC = 90° (так как OB ⊥ L).
4. Сторона OB — общая для обоих треугольников.
5. По условию AB = BC.
6. Следовательно, треугольники OAB и OBC равны по двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу).
7. Из равенства треугольников следует, что OA = OC.
8. Так как OA — радиус окружности, то OC также равен радиусу окружности.
9. Следовательно, точка C лежит на окружности с центром O.

2) Доказательство того, что прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, является касательной:

Определение касательной: Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

Доказательство:

1. Пусть прямая L имеет с окружностью только одну общую точку A.
2. Если бы прямая L не была касательной, то она бы либо пересекала окружность в двух точках, либо не пересекала совсем.
3. Предположим, что из центра O проведен перпендикуляр к прямой L. Обозначим основание перпендикуляра как B.
4. Если B совпадает с A, то OB = OA (радиус), и OB ⊥ L. По определению, прямая, перпендикулярная радиусу в точке его пересечения с окружностью, является касательной.
5. Если B не совпадает с A, то OB < OA (по теореме о перпендикуляре и наклонной). Это означает, что точка B находится внутри окружности. Следовательно, прямая L, проходящая через точку B (внутри окружности), должна пересекать окружность в двух точках (одна из которых может быть A, но тогда будет еще одна). Это противоречит условию, что прямая имеет только одну общую точку.
6. Таким образом, единственная общая точка A должна быть основанием перпендикуляра из центра O, что делает прямую L касательной.

3) Доказательство того, что две окружности, имеющие только одну общую точку, касаются в этой точке:

Доказательство:

1. Пусть две окружности с центрами O₁ и O₂ имеют ровно одну общую точку A.
2. Проведем через точку A прямую L.
3. Если бы L не была касательной к обеим окружностям, то одна из окружностей пересекала бы L в двух точках, либо L не касалась бы одной из окружностей.
4. Рассмотрим случай, когда L — общая касательная к обеим окружностям в точке A. Это означает, что O₁A ⊥ L и O₂A ⊥ L.
5. Если O₁, O₂ и A лежат на одной прямой, то прямая L перпендикулярна этой прямой в точке A. В этом случае окружности касаются.
6. Если O₁, O₂ и A не лежат на одной прямой, то O₁A и O₂A — радиусы. Точка A является единственной общей точкой. Это означает, что обе окружности находятся по одну сторону от прямой, проходящей через O₁ и O₂, и имеют единственную общую точку A.
7. Если провести общую касательную через A, то центры O₁ и O₂ и точка A будут лежать на одной прямой, проходящей через A перпендикулярно касательной.
8. Таким образом, наличие только одной общей точки подразумевает, что в этой точке существует общая касательная, и по определению, окружности касаются.