Задание 3 1) Окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁. 2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

Краткое пояснение: Для доказательства будем использовать свойства равнобедренных треугольников и равенство треугольников.

Дано: Две окружности с центрами O и O₁, пересекающиеся в точках A и B.

Доказать: Прямая AB ⊥ прямой OO₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник OAO₁. OA и O₁A — радиусы соответствующих окружностей.
2. Рассмотрим треугольник OBO₁. OB и O₁B — радиусы соответствующих окружностей.
3. Треугольник OAO₁ и треугольник OBO₁ имеют три пары равных сторон: OA = OB (радиусы первой окружности), O₁A = O₁B (радиусы второй окружности), OO₁ — общая сторона.
4. Следовательно, треугольники OAO₁ и OBO₁ равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует, что ∠AOO₁ = ∠BOO₁ и ∠AO₁O = ∠BO₁O.
6. Рассмотрим треугольник OAB. OA = OB, следовательно, треугольник OAB — равнобедренный.
7. Рассмотрим треугольник O₁AB. O₁A = O₁B, следовательно, треугольник O₁AB — равнобедренный.
8. Отрезок OO₁ является биссектрисой углов ∠AOB и ∠AO₁B.
9. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой.
10. Таким образом, OO₁ является высотой к основанию AB в треугольнике OAB (и в треугольнике O₁AB).
11. Следовательно, OO₁ ⊥ AB.

2) Доказательство того, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках:

Доказательство:

1. Уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом r имеет вид: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \).
2. Пусть даны две окружности:
3. Окружность 1: \( (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 = r_1^2 \)
4. Окружность 2: \( (x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 = r_2^2 \)
5. Точки пересечения этих окружностей удовлетворяют системе этих двух уравнений.
6. Раскроем скобки и вычтем одно уравнение из другого.
7. \( x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = r_1^2 \)
8. \( x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2 = r_2^2 \)
9. Вычитая второе из первого, получим:
10. \( (-2a_1+2a_2)x + (a_1^2-a_2^2) + (-2b_1+2b_2)y + (b_1^2-b_2^2) = r_1^2 - r_2^2 \)
11. Это линейное уравнение вида Ax + By + C = 0, которое представляет собой прямую линию. Эта прямая называется радикальной осью двух окружностей.
12. Точки пересечения окружностей лежат на этой прямой.
13. Таким образом, точки пересечения двух окружностей являются точками пересечения одной из окружностей (например, первой) и прямой (радикальной оси).
14. Прямая и окружность могут пересекаться максимум в двух точках.
15. Следовательно, две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.