1099 Правильный восьмиугольник А.А... Ад вписан в окружное а удирадиуса R. Докажите, что четырехугольник АААА, являю Анапся прямоугольником, и выразите его площадь через Р.

Решение:

Площадь прямоугольника $$A_3A_4A_7A_8$$ можно выразить как произведение длин его сторон. $$A_3A_4 = A_7A_8$$, $$A_3A_8 = A_4A_7$$.

Поскольку восьмиугольник правильный, все его стороны равны, и все углы между сторонами равны. Центральный угол, опирающийся на сторону правильного восьмиугольника, равен $$\frac{360}{8} = 45$$ градусов. Сторона $$A_3A_4$$ стягивает дугу $$45$$ градусов, а сторона $$A_3A_8$$ стягивает дугу, состоящую из 5 таких дуг, то есть $$5 \cdot 45 = 225$$ градусов.

Обозначим сторону правильного восьмиугольника как a. Тогда $$A_3A_4 = a$$. Длину $$A_3A_8$$ можно найти, рассмотрев треугольники, образованные сторонами восьмиугольника и центром окружности. Угол $$A_3OA_8$$ равен $$225$$ градусам, а угол $$A_3OA_4$$ равен $$45$$ градусам. Треугольники $$A_3OA_4$$ и другие подобные им - равнобедренные с углом при вершине O, равным $$45$$ градусам, и боковыми сторонами, равными радиусу R. Тогда

$$A_3A_4 = 2R \sin(\frac{45}{2})$$

$$A_3A_8 = 2R \sin(\frac{225}{2})$$

Так как $$\sin(\frac{225}{2}) = \sin(112.5) = \sin(180 - 67.5) = \sin(67.5)$$, и $$\sin(67.5) = \cos(22.5)$$

$$A_3A_8 = 2R \cos(\frac{45}{4})$$

Тогда площадь прямоугольника равна:

$$S = A_3A_4 \cdot A_3A_8 = 2R \sin(\frac{45}{2}) \cdot 2R \cos(\frac{45}{2}) = 4R^2 \sin(\frac{45}{2}) \cos(\frac{45}{2})$$

Используя формулу синуса двойного угла: $$\, sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$$.

Тогда $$\, sin(45) = 2 \sin(\frac{45}{2}) \cos(\frac{45}{2})$$

$$S = 2R^2 \sin(45) = 2R^2 \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2 \sqrt{2}$$

Ответ: Площадь прямоугольника $$A_3A_4A_7A_8$$ равна $$R^2 \sqrt{2}$$.