Представлена задача, в которой на доске написаны числа $$1, 2^2, 3^2, ..., 101^2$$. Отличница Аня стирает любые два из них, записывая их положительную разность. Она проделывает эту процедуру до тех пор, пока на доске не останется единственное число. Определите наименьшее значение, которое Аня сможет получить.

Для решения этой задачи нам необходимо понять, как минимизировать результат каждой операции вычитания, чтобы в конечном итоге получить наименьшее возможное число. Заметим, что если мы вычтем из квадрата числа $$n+1$$ квадрат числа $$n$$, то получим: $$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$$. Это показывает, что разность между квадратами двух последовательных чисел всегда является нечетным числом. При этом, чтобы минимизировать результат, нужно брать числа как можно ближе друг к другу. На доске написаны квадраты чисел от 1 до 101. Если мы будем последовательно вычитать разности между квадратами соседних чисел, то будем получать нечетные числа. В конечном итоге, если у нас останется два числа, одно четное и одно нечетное, то разность будет нечетной. Если оба числа четные или оба нечетные, то разность будет четной. Заметим, что количество чисел на доске равно 101. Это нечетное число. После каждой операции количество чисел уменьшается на 1. Значит, в итоге останется одно число. Если количество чисел нечетное, то всегда можно свести задачу к разности двух чисел. Рассмотрим два случая: 1. Если мы можем свести все числа к 1, то это и будет минимальным значением. 2. Если мы не можем получить 1, то следующим минимальным значением будет 2. Поскольку у нас есть число $$1^2 = 1$$ на доске, попробуем получить 1 в конце. Чтобы получить 1, нужно чтобы все остальные разности сводились к четному числу, которое можно вычесть из 1. Рассмотрим следующий подход: сгруппируем числа по парам $$(1^2, 2^2), (3^2, 4^2), ..., (99^2, 100^2), 101^2$$. В каждой паре будем вычислять разность: $$2^2 - 1^2 = 3, 4^2 - 3^2 = 7, ..., 100^2 - 99^2 = 199$$. После этих операций у нас останутся числа: $$3, 7, 11, ..., 199, 101^2 = 10201$$. Теперь у нас 51 число. Повторяем операции. Видим, что все разности будут четными числами. В итоге у нас останется одно число. Нам нужно получить наименьшее возможное значение. Наименьшее значение, которое можно получить, это 0 или 1. Заметим, что четность числа $$n^2$$ совпадает с четностью числа $$n$$. Так как у нас есть числа $$1, 2^2, 3^2, ..., 101^2$$, то есть числа $$1, 4, 9, ..., 10201$$. Всего чисел 101. Среди них есть как четные, так и нечетные. Если мы вычтем все четные числа, то останется нечетное число. Аналогично, если мы вычтем все нечетные числа, то останется нечетное число. Значит, в конце мы получим нечетное число. Наименьшее нечетное число - это 1. Ответ: 1