1. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: a) $$(3a-2b)^2 + (3a+2b)(3a+2b) + 2ab$$; б) $$6(1-2n)(1+2n+4n^2) + 8(6n^3-1)$$. 2. Разложите на множители: a) $$2x(y+2x) - 5y(y+2x)$$; б) $$a^2 - 2a + 1 - y^2 -2yz - z^2$$. 3. Докажите тождество: $$a^4 - 16b^4 = (a-2b)(a+2b)(a^2 + 4b^2)$$. 4. Решите уравнение: $$y^3 + 3y^2 - 4y - 12 = 0$$. 5. Докажите, что при любых значениях $$x$$ выражение $$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$$ принимает неотрицательные значения.

Разберем каждый пункт заданий подробно: 1. а) Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида: $$(3a - 2b)^2 + (3a + 2b)(3a + 2b) + 2ab$$ Разложим квадраты и произведения: $$(9a^2 - 12ab + 4b^2) + (9a^2 + 12ab + 4b^2) + 2ab = $$ $$9a^2 - 12ab + 4b^2 + 9a^2 + 12ab + 4b^2 + 2ab = $$ $$(9a^2 + 9a^2) + (-12ab + 12ab + 2ab) + (4b^2 + 4b^2) = $$ $$18a^2 + 2ab + 8b^2$$ Ответ: $$18a^2 + 2ab + 8b^2$$ 1. б) Преобразуем выражение в многочлен стандартного вида: $$6(1 - 2n)(1 + 2n + 4n^2) + 8(6n^3 - 1)$$ Заметим, что $$(1 - 2n)(1 + 2n + 4n^2)$$ является разностью кубов $$1^3 - (2n)^3 = 1 - 8n^3$$: $$6(1 - 8n^3) + 8(6n^3 - 1) = $$ $$6 - 48n^3 + 48n^3 - 8 = $$ $$(6 - 8) + (-48n^3 + 48n^3) = $$ $$-2$$ Ответ: -2 2. а) Разложим на множители: $$2x(y + 2x) - 5y(y + 2x)$$ Вынесем общий множитель $$(y + 2x)$$ за скобки: $$(y + 2x)(2x - 5y)$$ Ответ: $$(y + 2x)(2x - 5y)$$ 2. б) Разложим на множители: $$a^2 - 2a + 1 - y^2 - 2yz - z^2$$ Заметим, что $$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$$ и $$y^2 + 2yz + z^2 = (y + z)^2$$: $$(a - 1)^2 - (y + z)^2$$ Теперь у нас разность квадратов: $$((a - 1) - (y + z))((a - 1) + (y + z)) = $$ $$(a - 1 - y - z)(a - 1 + y + z)$$ Ответ: $$(a - 1 - y - z)(a - 1 + y + z)$$ 3. Докажем тождество: $$a^4 - 16b^4 = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$$ Разложим левую часть как разность квадратов: $$a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$$ Теперь разложим $$(a^2 - 4b^2)$$ как разность квадратов: $$(a^2 - 4b^2) = (a - 2b)(a + 2b)$$ Подставим это обратно в выражение: $$(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$$ Что и требовалось доказать. 4. Решим уравнение: $$y^3 + 3y^2 - 4y - 12 = 0$$ Сгруппируем члены: $$(y^3 + 3y^2) - (4y + 12) = 0$$ Вынесем общие множители: $$y^2(y + 3) - 4(y + 3) = 0$$ Вынесем $$(y + 3)$$ за скобки: $$(y + 3)(y^2 - 4) = 0$$ Разложим $$(y^2 - 4)$$ как разность квадратов: $$(y + 3)(y - 2)(y + 2) = 0$$ Значит, $$y = -3$$, $$y = 2$$, или $$y = -2$$. Ответ: $$y = -3, 2, -2$$ 5. Докажем, что при любых значениях $$x$$ выражение $$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$$ принимает неотрицательные значения. Преобразуем выражение, выделив полные квадраты: $$x^2 - 4x + y^2 - 2y + 5 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 5 - 4 - 1 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + 0$$ $$(x - 2)^2 geq 0$$ при любых $$x$$, и $$(y - 1)^2 geq 0$$ при любых $$y$$. Следовательно, $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + 0 geq 0$$ при любых $$x$$ и $$y$$. Что и требовалось доказать.