227. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения: a) $$\frac{n+6}{n}$$; б) $$\frac{5n-12}{n}$$; в) $$\frac{36-n^2}{n^2}$$?

Решение: а) $$\frac{n+6}{n} = 1 + \frac{6}{n}$$. Для того, чтобы выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $$\frac{6}{n}$$ было натуральным числом. Это возможно, когда n является делителем числа 6. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Таким образом, n может быть 1, 2, 3, 6. б) $$\frac{5n-12}{n} = 5 - \frac{12}{n}$$. Для того, чтобы выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $$\frac{12}{n}$$ было целым числом и $$5 - \frac{12}{n} > 0$$. Это возможно, когда n является делителем числа 12. Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Проверим каждое значение: * n = 1: $$5 - \frac{12}{1} = -7$$ (не подходит) * n = 2: $$5 - \frac{12}{2} = -1$$ (не подходит) * n = 3: $$5 - \frac{12}{3} = 1$$ (подходит) * n = 4: $$5 - \frac{12}{4} = 2$$ (подходит) * n = 6: $$5 - \frac{12}{6} = 3$$ (подходит) * n = 12: $$5 - \frac{12}{12} = 4$$ (подходит) Таким образом, n может быть 3, 4, 6, 12. в) $$\frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1$$. Для того, чтобы выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $$\frac{36}{n^2}$$ было целым числом и $$\frac{36}{n^2} - 1 > 0$$, то есть $$\frac{36}{n^2} > 1$$. Это возможно, когда $$n^2$$ является делителем числа 36. Возможные значения $$n^2$$: 1, 4, 9. Тогда n может быть 1, 2, 3, 6. * Если n = 1, то $$\frac{36}{1^2} - 1 = 35$$ (подходит) * Если n = 2, то $$\frac{36}{2^2} - 1 = \frac{36}{4} - 1 = 9 - 1 = 8$$ (подходит) * Если n = 3, то $$\frac{36}{3^2} - 1 = \frac{36}{9} - 1 = 4 - 1 = 3$$ (подходит) * Если n = 6, то $$\frac{36}{6^2} - 1 = \frac{36}{36} - 1 = 1 - 1 = 0$$ (не подходит, так как нужно натуральное число) Таким образом, n может быть 1, 2, 3. Ответ: а) n = 1, 2, 3, 6 б) n = 3, 4, 6, 12 в) n = 1, 2, 3