При каких целых значениях \(a\) выражение \(\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}\) принимает целое значение?

Сначала укажем ограничение: \(a\ne0\).

Упростим выражение:

\[\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}=\frac{a^2+2a+1-6a+4}{a}=\frac{a^2-4a+5}{a}=a-4+\frac{5}{a}.\]

Так как \(a-4\) — целое число, всё выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{a}\) — целое число. Значит, \(a\) является делителем числа 5.

Целые делители числа 5: \(\pm1\), \(\pm5\).

Ответ: \(a\in\{-5,-1,1,5\}\).