5. При каких целых значениях a является целым значение выражения $$\frac{(a + 1)^2 - 6a + 4}{2}$$?

Сначала упростим выражение в числителе:

$$\frac{a^2 + 2a + 1 - 6a + 4}{2}$$ $$\frac{a^2 - 4a + 5}{2}$$

Чтобы значение выражения было целым, необходимо, чтобы числитель делился на 2, то есть был четным числом. Рассмотрим числитель: $$a^2 - 4a + 5$$. Выделим полный квадрат:

$$a^2 - 4a + 4 + 1 = (a-2)^2 + 1$$

Тогда наше выражение примет вид:

$$\frac{(a-2)^2 + 1}{2}$$

Так как $$a$$ - целое число, то $$(a-2)$$ - тоже целое число. Значит, $$(a-2)^2$$ - это квадрат целого числа, и он всегда неотрицателен. Тогда $$(a-2)^2 + 1$$ - это целое число, большее или равное 1.

Для того, чтобы выражение было целым числом, необходимо, чтобы числитель был четным, то есть чтобы $$(a-2)^2 + 1$$ было четным. Это означает, что $$(a-2)^2$$ должно быть нечетным. Квадрат целого числа является нечетным, если само число нечетное. То есть $$(a-2)$$ должно быть нечетным. Целое число $$(a-2)$$ будет нечетным, если $$a$$ будет нечетным.

Вывод: выражение будет целым при всех нечетных значениях $$a$$.

Ответ: Выражение является целым при всех нечетных значениях a.