При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение: a) x/(x-2) б) (b+4)/(b²+7) в) (y²-1)/y + y/(y-3) г) (a+10)/(a(a-1)) - 1?

Чтобы рациональное выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Рассмотрим каждый случай:

1. а) $$rac{x}{x-2}$$

   Знаменатель: $$x - 2$$

   $$x - 2
   eq 0$$

   $$x
   eq 2$$

   Выражение имеет смысл при всех значениях x, кроме x = 2.

2. б) $$rac{b+4}{b^2+7}$$

   Знаменатель: $$b^2 + 7$$

   Так как $$b^2$$ всегда неотрицательно, то $$b^2 + 7$$ всегда больше 0. Значит, знаменатель никогда не обращается в нуль.

   Выражение имеет смысл при всех значениях b.

3. в) $$rac{y^2-1}{y} + rac{y}{y-3}$$

   Здесь два знаменателя: $$y$$ и $$y-3$$

   $$y
   eq 0$$

   $$y - 3
   eq 0$$

   $$y
   eq 3$$

   Выражение имеет смысл при всех значениях y, кроме y = 0 и y = 3.

4. г) $$rac{a+10}{a(a-1)} - 1$$

   Знаменатель: $$a(a-1)$$

   $$a(a-1)
   eq 0$$

   Значит, либо $$a
   eq 0$$, либо $$a - 1
   eq 0$$, то есть $$a
   eq 1$$

   Выражение имеет смысл при всех значениях a, кроме a = 0 и a = 1.

Ответ:

• а) x ≠ 2
• б) выражение имеет смысл при всех значениях b
• в) y ≠ 0 и y ≠ 3
• г) a ≠ 0 и a ≠ 1