При каких значениях x имеет не имеет смысла выражение

Задание №5

Нужно найти значения \(x\), при которых выражение не имеет смысла:

\[ \sqrt{\frac{x-2}{x^2-4x+3}} \]

Выражение под квадратным корнем не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю. То есть, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, и знаменатель не равен нулю. Это означает, что само выражение под корнем должно быть больше или равно нулю, но знаменатель не может быть нулем.

\[ \frac{x-2}{x^2-4x+3} \geq 0 \quad \text{и} \quad x^2-4x+3
eq 0 \]

Найдем корни знаменателя \(x^2-4x+3 = 0\):

\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \]

Теперь рассмотрим неравенство \( \frac{x-2}{(x-1)(x-3)} \geq 0 \).

Метод интервалов:

• Корни числителя: \(x=2\)
• Корни знаменателя: \(x=1, x=3\)

Расставим эти точки на числовой оси: 1, 2, 3.

• При \(x > 3\), например \(x=4\): \(rac{4-2}{(4-1)(4-3)} = rac{2}{3 imes 1} > 0\).
• При \(2 < x < 3\), например \(x=2.5\): \(rac{2.5-2}{(2.5-1)(2.5-3)} = rac{0.5}{1.5 imes (-0.5)} < 0\).
• При \(1 < x < 2\), например \(x=1.5\): \(rac{1.5-2}{(1.5-1)(1.5-3)} = rac{-0.5}{0.5 imes (-1.5)} > 0\).
• При \(x < 1\), например \(x=0\): \(rac{0-2}{(0-1)(0-3)} = rac{-2}{(-1) imes (-3)} < 0\).

Из-за того, что знаменатель не должен быть равен нулю, точки \(x=1\) и \(x=3\) не включаются в область определения. Точка \(x=2\) включается, так как числитель будет равен нулю, а знаменатель не равен.

Таким образом, выражение имеет смысл при \(1 < x \leq 2\) или \(x > 3\).

Выражение НЕ имеет смысла при:

• \(x \leq 1\)
• \(2 < x \leq 3\)

Ответ: