При каких значениях x имеет смысл выражение (769-770)2

769. Определение области допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических функций

Для того чтобы логарифм log_ab имел смысл, необходимо выполнение двух условий:

1. Основание логарифма a должно быть положительным и не равным 1 (a > 0, a ≠ 1).
2. Аргумент логарифма b должен быть строго положительным (b > 0).

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

1. 1) log₆(49 - x²)
   Основание: 6. Условие 6 > 0 и 6 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: 49 - x². Требуется 49 - x2 > 0.
   x² < 49.
   -7 < x < 7.
2. 2) log₇(x² + x - 6)
   Основание: 7. Условие 7 > 0 и 7 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: x² + x - 6. Требуется x2 + x - 6 > 0.
   Найдем корни квадратного уравнения x² + x - 6 = 0.
   D = 1² - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25.
   x₁ = (-1 - 5) / 2 = -3.
   x₂ = (-1 + 5) / 2 = 2.
   Парабола y = x² + x - 6 ветвями вверх, поэтому x2 + x - 6 > 0 при x < -3 или x > 2.
3. 3) log_1/5(x² + 2x + 7)
   Основание: 1/5. Условие 1/5 > 0 и 1/5 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: x² + 2x + 7. Требуется x2 + 2x + 7 > 0.
   Найдем дискриминант квадратного трехчлена: D = 2² - 4*1*7 = 4 - 28 = -24.
   Так как D < 0 и коэффициент при x² (1) положительный, то парабола y = x² + 2x + 7 всегда находится выше оси x. Следовательно, x2 + 2x + 7 > 0 для любого действительного x.
4. 4) y = log_0,3(7x - 2x² - 3)
   Основание: 0,3. Условие 0,3 > 0 и 0,3 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: 7x - 2x² - 3. Требуется 7x - 2x2 - 3 > 0.
   Умножим на -1 и сменим знак неравенства: 2x2 - 7x + 3 < 0.
   Найдем корни уравнения 2x² - 7x + 3 = 0.
   D = (-7)² - 4*2*3 = 49 - 24 = 25.
   x₁ = (7 - 5) / (2*2) = 2/4 = 1/2.
   x₂ = (7 + 5) / (2*2) = 12/4 = 3.
   Парабола y = 2x² - 7x + 3 ветвями вверх, поэтому 2x2 - 7x + 3 < 0 при 1/2 < x < 3.
5. 5) y = log₂((2x - 1) / (x - 5))
   Основание: 2. Условие 2 > 0 и 2 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: (2x - 1) / (x - 5). Требуется (2x - 1) / (x - 5) > 0.
   Метод интервалов: корни числителя x = 1/2, корни знаменателя x = 5.
   Рассмотрим знаки выражений на интервалах: (-∞, 1/2), (1/2, 5), (5, +∞).
   При x < 1/2: (-, -) -> +.
   При 1/2 < x < 5: (+, -) -> -.
   При x > 5: (+, +) -> +.
   Неравенство выполняется при x < 1/2 или x > 5.
6. 6) y = log_1/7((5x + 1) / (4 - x))
   Основание: 1/7. Условие 1/7 > 0 и 1/7 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: (5x + 1) / (4 - x). Требуется (5x + 1) / (4 - x) > 0.
   Корни числителя x = -1/5, корни знаменателя x = 4.
   При x < -1/5: (-, +) -> -.
   При -1/5 < x < 4: (+, +) -> +.
   При x > 4: (+, -) -> -.
   Неравенство выполняется при -1/5 < x < 4.
7. 7) y = log₁₀(√(x² - 1))
   Основание: 10. Условие 10 > 0 и 10 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: √(x² - 1). Требуется √(x² - 1) > 0. Это эквивалентно x2 - 1 > 0 (так как корень извлекается из неотрицательного числа, и сам корень должен быть больше нуля).
   x² > 1.
   x < -1 или x > 1.
8. 8) y = log_0,1(√(9 - x²))
   Основание: 0,1. Условие 0,1 > 0 и 0,1 ≠ 1 выполнено.
   Аргумент: √(9 - x²). Требуется √(9 - x²) > 0. Это эквивалентно 9 - x2 > 0.
   x² < 9.
   -3 < x < 3.