Область определения выражений, содержащих квадратный корень

Для того чтобы выражение с квадратным корнем имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Решение:

1. а) $$\sqrt{(3 - x)(x+7)}$$

Необходимо, чтобы выполнялось неравенство: $$(3 - x)(x+7) \ge 0$$.

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $$(3 - x)(x+7) = 0$$.

Корни: $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = -7$$.

Теперь определим знаки выражения на интервалах, образованных этими корнями:

• Если $$x < -7$$, например, $$x = -8$$, то $$(3 - (-8))(-8 + 7) = (11)(-1) = -11 < 0$$.
• Если $$-7 < x < 3$$, например, $$x = 0$$, то $$(3 - 0)(0 + 7) = (3)(7) = 21 > 0$$.
• Если $$x > 3$$, например, $$x = 4$$, то $$(3 - 4)(4 + 7) = (-1)(11) = -11 < 0$$.

Таким образом, неравенство выполняется при $$-7 \le x \le 3$$.

Ответ: $$x \in [-7; 3]$$

2. б) $$\sqrt{5x - x^2 + 6}$$

Необходимо, чтобы выполнялось неравенство: $$5x - x^2 + 6 \ge 0$$.

Умножим на -1, чтобы изменить знак перед $$x^2$$: $$x^2 - 5x - 6 \le 0$$.

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $$x^2 - 5x - 6 = 0$$.

Используем теорему Виета: $$x_1 + x_2 = 5$$ и $$x_1 \cdot x_2 = -6$$.

Корни: $$x_1 = 6$$ и $$x_2 = -1$$.

Теперь определим знаки выражения на интервалах, образованных этими корнями:

• Если $$x < -1$$, например, $$x = -2$$, то $$(-2)^2 - 5(-2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 > 0$$.
• Если $$-1 < x < 6$$, например, $$x = 0$$, то $$0^2 - 5(0) - 6 = -6 < 0$$.
• Если $$x > 6$$, например, $$x = 7$$, то $$7^2 - 5(7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 > 0$$.

Таким образом, неравенство выполняется при $$-1 \le x \le 6$$.

Ответ: $$x \in [-1; 6]$$