4. При какой скорости пуля из свинца полностью расплавится при ударе о стенку, если 80 % её энергии будет затрачено на нагревание пули? Начальная температура пули 27°С, температура плавления свинца 327 °С, удельная теплоёмкость 130 Дж/(кг. К), удельная теплота плавления 25 кДж/кг.

Для решения задачи необходимо определить энергию, необходимую для нагрева и плавления свинца, и приравнять ее к 80% кинетической энергии пули.

1) Рассчитаем тепло, необходимое для нагрева пули до температуры плавления:

$$
Q_{нагрева} = m \cdot c \cdot (T_{плавления} - T_{начальная})
$$

где:

• $$m$$ – масса пули,


• $$c = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$$ – удельная теплоемкость свинца,


• $$T_{плавления} = 327 \text{ °C}$$ – температура плавления свинца,


• $$T_{начальная} = 27 \text{ °C}$$ – начальная температура пули.

2) Рассчитаем тепло, необходимое для плавления пули:

$$
Q_{плавления} = m \cdot \lambda
$$

где:

• $$\lambda = 25000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$$ – удельная теплота плавления свинца.

3) Общее количество тепла, необходимое для нагрева и плавления пули:

$$
Q_{общее} = Q_{нагрева} + Q_{плавления} = m \cdot c \cdot (T_{плавления} - T_{начальная}) + m \cdot \lambda
$$

4) Кинетическая энергия пули:

$$
K = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2
$$

где:

• $$v$$ – скорость пули.

5) По условию, 80% кинетической энергии идет на нагрев и плавление пули:

$$
0.8 \cdot K = Q_{общее}
$$
$$
0.8 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot c \cdot (T_{плавления} - T_{начальная}) + m \cdot \lambda
$$

6) Сократим массу $$m$$ и выразим скорость $$v$$:

$$
0.4 \cdot v^2 = c \cdot (T_{плавления} - T_{начальная}) + \lambda
$$
$$
v^2 = \frac{c \cdot (T_{плавления} - T_{начальная}) + \lambda}{0.4}
$$

7) Подставим значения:

$$
v^2 = \frac{130 \cdot (327 - 27) + 25000}{0.4} = \frac{130 \cdot 300 + 25000}{0.4} = \frac{39000 + 25000}{0.4} = \frac{64000}{0.4} = 160000
$$
$$
v = \sqrt{160000} = 400 \frac{\text{м}}{\text{с}}
$$

Ответ: пуля полностью расплавится при скорости 400 м/с.