7. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Обозначим: A - пациент болен B - тест положительный P(A) - вероятность того, что пациент болен P(B) - вероятность того, что тест положительный P(B|A) = 0.86 - вероятность, что тест положительный, если пациент болен P(B|¬A) = 1 - 0.94 = 0.06 - вероятность, что тест положительный, если пациент не болен P(B) = 0.1 - вероятность, что тест положительный Нужно найти P(A|B) - вероятность, что пациент болен, если тест положительный. Используем формулу Байеса: $$P(A|B) = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}$$ Нужно найти P(A) - вероятность того, что пациент болен. Мы знаем P(B), P(B|A) и P(B|¬A). Используем формулу полной вероятности: $$P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)$$ Подставляем известные значения: $$0.1 = 0.86 * P(A) + 0.06 * (1 - P(A))$$ $$0.1 = 0.86 * P(A) + 0.06 - 0.06 * P(A)$$ $$0.04 = 0.8 * P(A)$$ $$P(A) = 0.05$$ Теперь можем найти P(A|B): $$P(A|B) = \frac{0.86 * 0.05}{0.1} = \frac{0.043}{0.1} = 0.43$$ Ответ: 0.43