34.15. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение: 1) x2 – 5x + 4 = 0; 2) x² + 5x + 4 = 0; 3) x² - 9x + 20 = 0; 4) x² + 2x – 8 = 0; 5) 2x² + 5x + 3 = 0; 6) -8x2 – 19x + 27 = 0.

Здравствуйте, ученики! Сегодня мы решим несколько квадратных уравнений, используя теорему Виета, которая позволяет находить корни уравнений без использования дискриминанта. Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$ выполнены следующие соотношения: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ и $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$ **1) $$x^2 - 5x + 4 = 0$$** Здесь $$a = 1$$, $$b = -5$$, $$c = 4$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4$$ Подбором находим корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 4$$. Их сумма равна 5, а произведение равно 4. **Ответ:** $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 4$$ **2) $$x^2 + 5x + 4 = 0$$** Здесь $$a = 1$$, $$b = 5$$, $$c = 4$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{5}{1} = -5$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4$$ Подбором находим корни: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -4$$. Их сумма равна -5, а произведение равно 4. **Ответ:** $$x_1 = -1$$, $$x_2 = -4$$ **3) $$x^2 - 9x + 20 = 0$$** Здесь $$a = 1$$, $$b = -9$$, $$c = 20$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{-9}{1} = 9$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{20}{1} = 20$$ Подбором находим корни: $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = 5$$. Их сумма равна 9, а произведение равно 20. **Ответ:** $$x_1 = 4$$, $$x_2 = 5$$ **4) $$x^2 + 2x - 8 = 0$$** Здесь $$a = 1$$, $$b = 2$$, $$c = -8$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{2}{1} = -2$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{1} = -8$$ Подбором находим корни: $$x_1 = -4$$ и $$x_2 = 2$$. Их сумма равна -2, а произведение равно -8. **Ответ:** $$x_1 = -4$$, $$x_2 = 2$$ **5) $$2x^2 + 5x + 3 = 0$$** Здесь $$a = 2$$, $$b = 5$$, $$c = 3$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}$$ Подбором находим корни: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -\frac{3}{2}$$. Их сумма равна $$-1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$$, а произведение равно $$(-1) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$$. **Ответ:** $$x_1 = -1$$, $$x_2 = -\frac{3}{2}$$ **6) $$-8x^2 - 19x + 27 = 0$$** Для удобства умножим уравнение на -1: $$8x^2 + 19x - 27 = 0$$. Здесь $$a = 8$$, $$b = 19$$, $$c = -27$$. Тогда: $$x_1 + x_2 = -\frac{19}{8}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{8}$$ Подбором находим корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -\frac{27}{8}$$. Их сумма равна $$1 - \frac{27}{8} = -\frac{19}{8}$$, а произведение равно $$1 \cdot (-\frac{27}{8}) = -\frac{27}{8}$$. **Ответ:** $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -\frac{27}{8}$$