Пример 1. Решите графически уравнение: a) $$x^2 = 4x$$ б) $$x^2 = \frac{4}{x}$$ в) $$x^2 = -2x + 3$$ г) $$x^2 = 4$$ Пример 2. Постройте график функции: a) $$y = \frac{x^3 + 2x^2}{x+2}$$ б) $$y = \frac{x^2 - x^4}{1-x^2}$$

Решение примера 1: а) $$x^2 = 4x$$ Чтобы решить графически данное уравнение, построим графики функций $$y = x^2$$ и $$y = 4x$$ в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков будут решениями уравнения. 1. График $$y = x^2$$ – парабола с вершиной в точке (0,0), ветви направлены вверх. 2. График $$y = 4x$$ – прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки пересечения графиков: $$x^2 = 4x$$ $$x^2 - 4x = 0$$ $$x(x - 4) = 0$$ $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 4$$ Итак, графики пересекаются в точках $$x = 0$$ и $$x = 4$$. Ответ: $$x = 0$$ и $$x = 4$$ б) $$x^2 = \frac{4}{x}$$ Чтобы решить графически данное уравнение, построим графики функций $$y = x^2$$ и $$y = \frac{4}{x}$$ в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков будут решениями уравнения. 1. График $$y = x^2$$ – парабола с вершиной в точке (0,0), ветви направлены вверх. 2. График $$y = \frac{4}{x}$$ – гипербола. Найдем точки пересечения графиков: $$x^2 = \frac{4}{x}$$ $$x^3 = 4$$ $$x = \sqrt[3]{4}$$ Итак, графики пересекаются в точке $$x = \sqrt[3]{4} \approx 1.59$$. Ответ: $$x = \sqrt[3]{4}$$ в) $$x^2 = -2x + 3$$ Чтобы решить графически данное уравнение, построим графики функций $$y = x^2$$ и $$y = -2x + 3$$ в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков будут решениями уравнения. 1. График $$y = x^2$$ – парабола с вершиной в точке (0,0), ветви направлены вверх. 2. График $$y = -2x + 3$$ – прямая. Найдем точки пересечения графиков: $$x^2 = -2x + 3$$ $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение: D = $$2^2 - 4 * 1 * (-3)$$ = 4 + 12 = 16 $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$ Итак, графики пересекаются в точках $$x = 1$$ и $$x = -3$$. Ответ: $$x = 1$$ и $$x = -3$$ г) $$x^2 = 4$$ Чтобы решить графически данное уравнение, построим графики функций $$y = x^2$$ и $$y = 4$$ в одной системе координат. Точки пересечения этих графиков будут решениями уравнения. 1. График $$y = x^2$$ – парабола с вершиной в точке (0,0), ветви направлены вверх. 2. График $$y = 4$$ – прямая, параллельная оси x. Найдем точки пересечения графиков: $$x^2 = 4$$ $$x = \pm \sqrt{4}$$ $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -2$$ Итак, графики пересекаются в точках $$x = 2$$ и $$x = -2$$. Ответ: $$x = -2$$ и $$x = 2$$ Решение примера 2: а) $$y = \frac{x^3 + 2x^2}{x+2}$$ Преобразуем функцию: $$y = \frac{x^2(x + 2)}{x+2}$$ При $$x
eq -2$$, $$y = x^2$$. График функции представляет собой параболу $$y = x^2$$ с "выколотой" точкой при $$x = -2$$. б) $$y = \frac{x^2 - x^4}{1-x^2}$$ Преобразуем функцию: $$y = \frac{x^2(1 - x^2)}{1-x^2}$$ При $$x
eq \pm 1$$, $$y = x^2$$. График функции представляет собой параболу $$y = x^2$$ с "выколотыми" точками при $$x = 1$$ и $$x = -1$$.