Пример 3: Производная частного функций Условие: Найдите производную функции f(x) = (x² + 1) / (x + 2). Что нужно найти: d/dx f(x), то есть производную функции f`(x).

Решение:

Для нахождения производной частного двух функций \( u(x) \) и \( v(x) \) используется формула:

\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

В нашем случае:

• \( u(x) = x^2 + 1 \), тогда \( u'(x) = 2x \).
• \( v(x) = x + 2 \), тогда \( v'(x) = 1 \).

Применяем формулу:

\[ f'(x) = \frac{(2x)(x + 2) - (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2} \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2 - 1}{(x + 2)^2} \]

Приводим подобные слагаемые в числителе:

\[ f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{(x + 2)^2} \]

Ответ: \( f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{(x + 2)^2} \).