Пример 3. Решите уравнение: 4) x³ = 4x²+21x; 5) (x-5)²(x-2)=4(x-5).

Решение

4) $$x^3 = 4x^2+21x$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^3 - 4x^2 - 21x = 0$$

Вынесем общий множитель $$x$$ за скобки:

$$x(x^2 - 4x - 21) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x=0$$

Теперь решим квадратное уравнение $$x^2 - 4x - 21 = 0$$:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$

$$\\sqrt{D} = \\sqrt{100} = 10$$

$$x_1 = \frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$$

Ответ: $$x=-3, x=0, x=7$$.

5) $$(x-5)^2(x-2)=4(x-5)$$

Перенесём всё в левую часть:

$$(x-5)^2(x-2) - 4(x-5) = 0$$

Вынесем общий множитель $$(x-5)$$ за скобки:

$$(x-5)((x-5)(x-2) - 4) = 0$$

Раскроем скобки во второй части:

$$(x-5)(x^2 - 2x - 5x + 10 - 4) = 0$$

$$(x-5)(x^2 - 7x + 6) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x-5 = 0 \Rightarrow x=5$$

Теперь решим квадратное уравнение $$x^2 - 7x + 6 = 0$$:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$

$$\\sqrt{D} = \\sqrt{25} = 5$$

$$x_1 = \frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: $$x=1, x=5, x=6$$.