Пример 4. Сократите дробь: p(a)/p(1/a), если p(x) = (x+6/x)(6x+1/x).

Пример 4. Сокращение дроби

Дано: дробь \( \frac{p(a)}{p(\frac{1}{a})} \), где \( p(x) = (x+\frac{6}{x})(6x+\frac{1}{x}) \).

Решение:

1. Сначала упростим выражение для \( p(x) \):
2. \( p(x) = (\frac{x^2+6}{x})(\frac{6x^2+1}{x}) = \frac{(x^2+6)(6x^2+1)}{x^2} \).
3. Теперь найдем \( p(a) \) и \( p(\frac{1}{a}) \):
4. \( p(a) = \frac{(a^2+6)(6a^2+1)}{a^2} \).
5. \( p(\frac{1}{a}) = (\frac{1}{a}+\frac{6}{\frac{1}{a}})(6\frac{1}{a}+\frac{1}{\frac{1}{a}}) = (\frac{1}{a}+6a)(\frac{6}{a}+1) = (\frac{1+6a^2}{a})(\frac{6+a}{a}) = \frac{(6a^2+1)(a+6)}{a^2} \).
6. Теперь подставим эти выражения в дробь:
7. \( \frac{p(a)}{p(\frac{1}{a})} = \frac{\frac{(a^2+6)(6a^2+1)}{a^2}}{\frac{(6a^2+1)(a+6)}{a^2}} \).
8. Сократим \( a^2 \) в числителе и знаменателе:
9. \( \frac{(a^2+6)(6a^2+1)}{(6a^2+1)(a+6)} \).
10. Сократим \( (6a^2+1) \):
11. \( \frac{a^2+6}{a+6} \).

Ответ: = = \(\frac{a^2+6}{a+6}\)