21. Про натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 6. но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. Получилось 186. Какое число было загадано?

Пусть x - загаданное число.

Составим уравнение:

$$Ax + B - C = 186$$

$$Ax = 186 - B + C$$

Так как A, B и C - натуральные числа от 7 до 9 включительно, то $$ 186 - B + C$$ - целое число. Значит, $$186 - B + C$$ должно делиться на A.

Т.к. от B вычитаем, а C прибавляем, то максимальное значение выражения при B=7, C=9. $$ 186 - 7 + 9 = 188$$

Минимальное значение выражения при B=9, C=7. $$ 186 - 9 + 7 = 184$$

Значит, $$184 \le 186 - B + C \le 188$$

Если A=7, то $$x = \frac{186 - B + C}{7}$$. Тогда числитель должен делиться на 7 без остатка. Ближайшие к диапазону [184; 188] числа, делящиеся на 7 - это 182 и 189. Значит, это не наш случай.

Если A=8, то $$x = \frac{186 - B + C}{8}$$. Тогда числитель должен делиться на 8 без остатка. Ближайшие к диапазону [184; 188] числа, делящиеся на 8 - это 184. Значит $$186 - B + C = 184$$ и $$B - C = 2$$. Этому условию удовлетворяют пары: B=9, C=7.

Тогда $$x = \frac{184}{8} = 23$$.

Если A=9, то $$x = \frac{186 - B + C}{9}$$. Тогда числитель должен делиться на 9 без остатка. Ближайшее к диапазону [184; 188] числа, делящиеся на 9 - это 189. Значит $$186 - B + C = 189$$ и $$B - C = -3$$. Этому условию не удовлетворяет ни одна пара чисел.

Ответ: 23