Ответ:
Рассказчик вспоминает детство, чтобы показать, как в его время воспитывали дворянских детей и какую роль в его жизни сыграл Савельич. Выражение «не по-нонешнему» означает «не так, как принято теперь», «по старинному обычаю»: ребёнка воспитывали в доме, поручая его заботам крепостного слуги и домашнего наставника.
Похожий пример — Илья Обломов из романа И. А. Гончарова «Обломов»: его с детства опекали родные и многочисленные слуги, а самостоятельности почти не приучали.
