Отгадка к обеим загадкам - язык.
В словаре можно найти следующие значения слова "язык":
В первом случае речь идет о языке как об органе во рту, который не проглотишь. Во втором случае говорится о языке как о средстве общения, без которого человек не смог бы ничего сказать.
Ещё одна загадка про язык:
Без костей, а правду скажет. (Язык)