Прочитайте условие задачи. К концам однородного медного цилиндрического проводника на время $$\tau = 1$$ мин подали напряжение, равное $$U = 2$$ В. Определите длину проводника $$l$$, если его температура за это время повысилась на $$\Delta t = 10$$ °С. Изменением сопротивления проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренебречь. Ответ округлите до целых. Вставьте в текст формулы, позволяющие решить эту задачу и получить правильный ответ. Переместите необходимые формулы в текст с помощью компьютерной мыши. Числовой ответ выберите из выпадающего списка. При решении задачи используются следующие обозначения: $$c$$ – удельная теплоёмкость меди; $$\rho_y$$ - удельное сопротивление меди; $$\rho_{пл}$$ – плотность меди; $$S$$ - площадь поперечного сечения медного цилиндрического проводника. При прохождении электрического тока по проводнику выделяется количество теплоты $$Q_1$$, которое можно выразить по формуле ________. Количество теплоты $$Q_2$$, требующееся для нагревания проводника, можно найти по формуле ________. Так как по условию задачи потерями тепла при нагревании проводника можно пренебречь, то приравниваем $$Q_1$$ и $$Q_2$$, из полученного уравнения выражаем длину проводника $$l$$. Общая формула для определения длины проводника $$l$$ будет иметь ________.

Рассмотрим решение задачи поэтапно.

1. Количество теплоты, выделяемое при прохождении тока:

Количество теплоты $$Q_1$$, выделяющееся в проводнике при прохождении электрического тока, можно выразить законом Джоуля-Ленца:

$$ Q_1 = \frac{U^2}{R} \tau $$

где:

• $$U$$ - напряжение на концах проводника,
• $$R$$ - сопротивление проводника,
• $$\tau$$ - время протекания тока.

2. Количество теплоты, необходимое для нагревания:

Количество теплоты $$Q_2$$, необходимое для нагревания проводника, можно выразить как:

$$ Q_2 = mc\Delta t $$

где:

• $$m$$ - масса проводника,
• $$c$$ - удельная теплоемкость меди,
• $$\Delta t$$ - изменение температуры.

3. Выражение для массы проводника:

Массу проводника можно выразить через его плотность и объем:

$$ m = \rho_{пл} V = \rho_{пл} Sl $$

где:

• $$\rho_{пл}$$ - плотность меди,
• $$S$$ - площадь поперечного сечения,
• $$l$$ - длина проводника.

4. Выражение для сопротивления проводника:

Сопротивление проводника можно выразить как:

$$ R = \frac{\rho_y l}{S} $$

где:

• $$\rho_y$$ - удельное сопротивление меди.

5. Приравнивание теплоты и вывод формулы для длины:

Так как потерями тепла пренебрегаем, то $$Q_1 = Q_2$$. Подставляем все выражения:

$$ \frac{U^2}{\frac{\rho_y l}{S}} \tau = \rho_{пл} Slc\Delta t $$

Преобразуем и выразим длину $$l$$:

$$ \frac{U^2 S}{\rho_y l} \tau = \rho_{пл} Slc\Delta t $$ $$ l^2 = \frac{U^2 \tau}{\rho_y \rho_{пл} c \Delta t} $$ $$ l = \sqrt{\frac{U^2 \tau}{\rho_y \rho_{пл} c \Delta t}} $$

6. Подстановка значений и расчет:

Подставим известные значения:

• $$U = 2$$ В,
• $$\tau = 1$$ мин = 60 с,
• $$\rho_y = 1.7 \cdot 10^{-8}$$ Ом·м (удельное сопротивление меди),
• $$\rho_{пл} = 8900$$ кг/м$$^3$$ (плотность меди),
• $$c = 380$$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость меди),
• $$\Delta t = 10$$ °C.

$$ l = \sqrt{\frac{2^2 \cdot 60}{1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 8900 \cdot 380 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{240}{0.057686}} \approx \sqrt{4160.3} \approx 64.5 $$

7. Округление ответа:

Округляем до целых: $$l \approx 65$$ м.

Ответ: 65 м