Произведение трёх попарно различных вещественных чисел $$x, y, z$$ равно 8, причём выполнены равенства: $$x(y^2 + 2z^2) = y(z^2 + 2x^2) = z(x^2 + 2y^2)$$. Чему может быть равна сумма этих чисел?

Привет! Давай решим эту задачу вместе. У нас есть три попарно различных вещественных числа $$x$$, $$y$$ и $$z$$, произведение которых равно 8, то есть $$xyz = 8$$. Также дано равенство: $$x(y^2 + 2z^2) = y(z^2 + 2x^2) = z(x^2 + 2y^2)$$ Сначала приравняем первые два выражения: $$x(y^2 + 2z^2) = y(z^2 + 2x^2)$$ $$xy^2 + 2xz^2 = yz^2 + 2yx^2$$ $$xy^2 - 2yx^2 + 2xz^2 - yz^2 = 0$$ $$xy(y - 2x) + z^2(2x - y) = 0$$ $$xy(y - 2x) - z^2(y - 2x) = 0$$ $$(y - 2x)(xy - z^2) = 0$$ Это означает, что либо $$y = 2x$$, либо $$xy = z^2$$. Теперь приравняем второе и третье выражения: $$y(z^2 + 2x^2) = z(x^2 + 2y^2)$$ $$yz^2 + 2yx^2 = zx^2 + 2zy^2$$ $$yz^2 - 2zy^2 + 2yx^2 - zx^2 = 0$$ $$yz(z - 2y) + x^2(2y - z) = 0$$ $$yz(z - 2y) - x^2(z - 2y) = 0$$ $$(z - 2y)(yz - x^2) = 0$$ Это означает, что либо $$z = 2y$$, либо $$yz = x^2$$. Рассмотрим случай, когда $$y = 2x$$ и $$z = 2y$$. Тогда $$z = 2(2x) = 4x$$. Подставим эти выражения в $$xyz = 8$$: $$x(2x)(4x) = 8$$ $$8x^3 = 8$$ $$x^3 = 1$$ $$x = 1$$ Тогда $$y = 2(1) = 2$$ и $$z = 4(1) = 4$$. Проверим, что эти значения попарно различны и их произведение равно 8: $$1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$$. В этом случае сумма чисел равна $$x + y + z = 1 + 2 + 4 = 7$$. Теперь рассмотрим случай, когда $$xy = z^2$$ и $$yz = x^2$$. Разделим одно уравнение на другое: $$\frac{xy}{yz} = \frac{z^2}{x^2}$$ $$\frac{x}{z} = \frac{z^2}{x^2}$$ $$x^3 = z^3$$ $$x = z$$ Но по условию все числа попарно различны, поэтому этот случай невозможен. Рассмотрим случай, когда $$y = 2x$$ и $$yz = x^2$$. Тогда $$(2x)z = x^2$$, значит $$2z = x$$, или $$z = \frac{x}{2}$$. Подставим это в $$xyz = 8$$: $$x(2x)(\frac{x}{2}) = 8$$ $$x^3 = 8$$ $$x = 2$$ Тогда $$y = 2(2) = 4$$ и $$z = \frac{2}{2} = 1$$. Снова получаем числа 1, 2, 4, но в другом порядке. Сумма будет $$1 + 2 + 4 = 7$$. Рассмотрим случай, когда $$z = 2y$$ и $$xy = z^2$$. Тогда $$xy = (2y)^2 = 4y^2$$, значит $$x = 4y$$. Подставим это в $$xyz = 8$$: $$(4y)(y)(2y) = 8$$ $$8y^3 = 8$$ $$y^3 = 1$$ $$y = 1$$ Тогда $$x = 4(1) = 4$$ и $$z = 2(1) = 2$$. Снова получаем числа 1, 2, 4, но в другом порядке. Сумма будет $$1 + 2 + 4 = 7$$. Теперь рассмотрим случай, когда, например, $$y = 2x$$ и $$x=0$$, тогда $$xyz=0$$, что противоречит условию $$xyz=8$$. Таким образом, единственный возможный вариант для суммы чисел $$x + y + z$$ это 7. Ответ: 7