Промежуточная аттестация по геометрии Вариант 1: 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AC = 14, sin A = 2/5. Найдите BH. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Известно, что AC1 = 25, AD = 4√21, AA1 = 17. Найдите длину диагонали AC1. 3. Найдите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой 8, а высота равна 3. 4. Основание AC равнобедренного треугольника ABC лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AB = 20, AC = 24, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 30°. 5. Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции. 6. Длина вектора равна 2√2, угол между векторами и равен 45°, а скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора . 7. Даны векторы = (1; 2), = (3; −6), = (4; −3) Найдите значение выражения (+).

Решение задачи №1:

Дано: треугольник ABC, ∠C = 90°, CH - высота, AC = 14, sin A = 2/5

Найти: BH

Решение:

Рассмотрим треугольник ACH, в котором ∠H = 90°.

$$sin A = \frac{CH}{AC}$$

$$CH = AC * sin A$$

$$CH = 14 * \frac{2}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$$

Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠C = 90°.

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

$$BC = AB * sin A$$

Рассмотрим треугольник BCH, в котором ∠H = 90°.

$$BC^2 = BH^2 + CH^2$$

$$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2}$$

Для нахождения BH, нужно найти BC. Т.к. недостаточно данных для нахождения BC, используем другой подход.

Рассмотрим треугольник ACH, в котором ∠H = 90°.

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

$$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2}$$

$$AH = \sqrt{14^2 - 5.6^2} = \sqrt{196 - 31.36} = \sqrt{164.64} = 12.83$$

Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠C = 90°.

$$cos A = \frac{AC}{AB}$$

В то же время, рассмотрим треугольник ACH, в котором ∠H = 90°.

$$cos A = \frac{AH}{AC}$$

Тогда:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$$

$$AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{14^2}{12.83} = \frac{196}{12.83} = 15.27$$

Рассмотрим треугольник ABC, в котором ∠C = 90°.

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{15.27^2 - 14^2} = \sqrt{233.17 - 196} = \sqrt{37.17} = 6.10$$

Рассмотрим треугольник BCH, в котором ∠H = 90°.

$$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{6.10^2 - 5.6^2} = \sqrt{37.21 - 31.36} = \sqrt{5.85} = 2.42$$

Ответ: BH = 2.42