проведения жеребьевки первого тура участников случаиным образом разоили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы. 10. В классе 16 учащихся, среди них два друга - Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе. 11. В классе 21 учащийся, среди них два друга Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. 12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России? 13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России? 14. В классе 26 учащихся, среди них два друга Сергей и Андрей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе. 15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу. 16. В классе 21 учащийся, среди них две подруги Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе. 17. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. 18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

1. Вероятность того, что Коля попадет в первую группу, равна $$13/26 = 1/2$$. Если Коля попал в первую группу, то для Толи остается 12 мест в первой группе и 13 мест во второй группе. Вероятность того, что Толя попадет во вторую группу, равна $$13/25$$. Общая вероятность, что Коля и Толя попадут в разные группы равна: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{25} + \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{25} = \frac{13}{25} = 0.52$$. 2. В классе 16 учащихся, их случайным образом разбивают на 4 группы по 4 человека. Общее число способов разбить 16 человек на 4 группы по 4: $$\frac{C_{16}^4 \cdot C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4}{4!} = \frac{16!}{4!4!4!4!4!} $$. Число способов, чтобы Вадим и Сергей оказались в одной группе: Нужно выбрать группу для Вадима и Сергея (4 способа). В эту группу нужно добавить еще 2 человека из оставшихся 14 ( $$C_{14}^2$$ способов). Оставшиеся 12 человек делятся на 3 группы по 4: $$\frac{C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4}{3!} = \frac{12!}{4!4!4!3!} $$. Вероятность, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе: $$\frac{4 \cdot C_{14}^2 \cdot \frac{12!}{4!4!4!3!}}{\frac{16!}{(4!)^4 4!}} = \frac{4 \cdot \frac{14!}{2!12!} \cdot \frac{12!}{(4!)^3 3!}}{\frac{16!}{(4!)^4 4!}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$$. 3. В классе 21 учащийся, их случайным образом разбивают на 3 группы по 7 человек. Общее число способов разбить 21 человека на 3 группы по 7: $$\frac{C_{21}^7 \cdot C_{14}^7 \cdot C_7^7}{3!} = \frac{21!}{7!7!7!3!} $$. Число способов, чтобы Вадим и Олег оказались в одной группе: Нужно выбрать группу для Вадима и Олега (3 способа). В эту группу нужно добавить еще 5 человек из оставшихся 19 ( $$C_{19}^5$$ способов). Оставшиеся 14 человек делятся на 2 группы по 7: $$\frac{C_{14}^7 \cdot C_7^7}{2!} = \frac{14!}{7!7!2!} $$. Вероятность, что Вадим и Олег окажутся в одной группе: $$\frac{3 \cdot C_{19}^5 \cdot \frac{14!}{7!7!2!}}{\frac{21!}{(7!)^3 3!}} = \frac{3 \cdot \frac{19!}{5!14!} \cdot \frac{14!}{(7!)^2 2!}}{\frac{21!}{(7!)^3 3!}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$$. 4. Всего 16 спортсменов, 7 из России. Вероятность, что Платон Карпов (из России) будет играть с кем-либо из России. Всего спортсменов из России 7, Платон Карпов один из них, значит, остается 6 других спортсменов из России. Всего спортсменов 16, один из них Платон Карпов, значит, остается 15 других спортсменов. Вероятность, что Платон Карпов будет играть с кем-либо из России равна $$\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4$$. 5. Всего 26 шашистов, 3 из России. Вероятность, что Василий Лукин (из России) будет играть с кем-либо из России. Всего шашистов из России 3, Василий Лукин один из них, значит, остается 2 других шашиста из России. Всего шашистов 26, один из них Василий Лукин, значит, остается 25 других шашистов. Вероятность, что Василий Лукин будет играть с кем-либо из России равна $$\frac{2}{25} = 0.08$$. 6. В классе 26 учащихся, их случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Общее число способов разбить 26 человек на 2 группы по 13: $$\frac{C_{26}^{13} \cdot C_{13}^{13}}{2!} = \frac{26!}{13!13!2!} $$. Число способов, чтобы Сергей и Андрей оказались в одной группе: Нужно выбрать группу для Сергея и Андрея (2 способа). В эту группу нужно добавить еще 11 человек из оставшихся 24 ( $$C_{24}^{11}$$ способов). Оставшиеся 13 человек определяются однозначно. Вероятность, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе: $$\frac{2 \cdot C_{24}^{11}}{\frac{26!}{13!13!2!}} = \frac{2 \cdot \frac{24!}{11!13!}}{\frac{26!}{13!13!2!}} = \frac{12}{25} = 0.48$$. 7. В классе 21 ученик, их случайным образом разбивают на 3 группы по 7 человек. Общее число способов разбить 21 человека на 3 группы по 7: $$\frac{C_{21}^7 \cdot C_{14}^7 \cdot C_7^7}{3!} = \frac{21!}{7!7!7!3!} $$. Число способов, чтобы Тоша и Гоша оказались в одной группе: Нужно выбрать группу для Тоши и Гоши (3 способа). В эту группу нужно добавить еще 5 человек из оставшихся 19 ( $$C_{19}^5$$ способов). Оставшиеся 14 человек делятся на 2 группы по 7: $$\frac{C_{14}^7 \cdot C_7^7}{2!} = \frac{14!}{7!7!2!} $$. Вероятность, что Тоша и Гоша окажутся в одной группе: $$\frac{3 \cdot C_{19}^5 \cdot \frac{14!}{7!7!2!}}{\frac{21!}{(7!)^3 3!}} = \frac{3 \cdot \frac{19!}{5!14!} \cdot \frac{14!}{(7!)^2 2!}}{\frac{21!}{(7!)^3 3!}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3$$. 8. В классе 21 учащийся, их случайным образом делят на 7 групп по 3 человека в каждой. Общее число способов разделить 21 человека на 7 групп по 3: $$\frac{C_{21}^3 \cdot C_{18}^3 \cdot C_{15}^3 \cdot C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3}{7!} = \frac{21!}{(3!)^7 7!} $$. Число способов, чтобы Аня и Нина оказались в одной группе: Нужно выбрать группу для Ани и Нины (7 способов). В эту группу нужно добавить еще 1 человека из оставшихся 19 ( $$C_{19}^1$$ способов). Оставшиеся 18 человек делятся на 6 групп по 3: $$\frac{C_{18}^3 \cdot C_{15}^3 \cdot C_{12}^3 \cdot C_9^3 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3}{6!} = \frac{18!}{(3!)^6 6!} $$. Вероятность, что Аня и Нина окажутся в одной группе: $$\frac{7 \cdot C_{19}^1 \cdot \frac{18!}{(3!)^6 6!}}{\frac{21!}{(3!)^7 7!}} = \frac{7 \cdot \frac{19!}{1!18!} \cdot \frac{18!}{(3!)^6 6!}}{\frac{21!}{(3!)^7 7!}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$$. 9. Вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. Всего на циферблате 12 отметок. Число отметок от 1 до 7 равно 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Тогда вероятность равна $$\frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$$. 10. Вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов. Всего на циферблате 12 отметок. Число отметок от 6 до 9 равно 3 (6, 7, 8, 9). Тогда вероятность равна $$\frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$$.