Проверочная работа № 2. 3. Докажите, что двузначное число делится на 9 и состоит из одинаковых цифр.

Пусть двузначное число состоит из одинаковых цифр \(a\). Тогда оно имеет вид \(10a+a=11a\), где \(a\) — цифра от 1 до 9.

По признаку делимости на 9 сумма цифр числа должна делиться на 9. Здесь сумма цифр равна \(a+a=2a\). Поскольку \(a\) — цифра от 1 до 9, значение \(2a\) делится на 9 только при \(a=9\). Значит, единственное такое число — 99, и оно делится на 9.

Вывод: единственное двузначное число с одинаковыми цифрами, которое делится на 9, — 99.