Пр..следуя н.. приятеля они вышли к границе.

Применим Протокол А (орфография).

1. Орфограмма: правописание приставок ПРЕ- и ПРИ-, а также безударная гласная в корне слова.
2. Правило 1: приставка ПРИ- обозначает приближение, присоединение, неполноту действия, близость к чему-либо. Приставка ПРЕ- имеет значение очень или близка по значению к приставке ПЕРЕ-.
3. Правило 2: чтобы проверить безударную гласную в корне, нужно изменить форму слова или подобрать однокоренное слово так, чтобы гласная оказалась под ударением.
4. Разбор слова:

   друг - дру́жба

4. Вывод 1: в слове "пр..следуя" пишется приставка пре-, так как она близка по значению к приставке пере-.
5. Вывод 2: в слове "н.. приятеля" пишется гласная и, так как в проверочном слове "дру́жба" гласная и находится под ударением.

Ответ: Преследуя не приятеля они вышли к границе.