Пружинный маятник совершил 12 колебаний за время t. Когда массу груза увеличили на 200 г он совершил за такое же время 15 колебаний. Какова была начальная масса груза?

Давай решим эту задачу шаг за шагом. Сначала вспомним формулу периода колебаний пружинного маятника:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

где:

• (T) - период колебаний,
• (m) - масса груза,
• (k) - жесткость пружины.

В нашей задаче время (t) одно и то же в обоих случаях. Количество колебаний и период связаны обратной зависимостью: чем больше колебаний за время (t), тем меньше период. Обозначим начальную массу груза как (m_1), а массу после увеличения как (m_2). Тогда (m_2 = m_1 + 200) г.

Пусть (n_1) - количество колебаний до увеличения массы (12), а (n_2) - количество колебаний после увеличения массы (15). Тогда периоды (T_1) и (T_2) можно выразить как:

$$T_1 = \frac{t}{n_1} = \frac{t}{12}$$ $$T_2 = \frac{t}{n_2} = \frac{t}{15}$$

Теперь запишем формулы для периодов через массу и жесткость:

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$$ $$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + 200}{k}}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{t}{12}}{\frac{t}{15}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$

Также:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{m_1 + 200}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + 200}}$$

Приравняем оба выражения для отношения периодов:

$$\frac{5}{4} = \sqrt{\frac{m_1 + 200}{m_1}}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$\frac{25}{16} = \frac{m_1 + 200}{m_1}$$

Решим уравнение относительно (m_1):

$$25m_1 = 16(m_1 + 200)$$ $$25m_1 = 16m_1 + 3200$$ $$9m_1 = 3200$$ $$m_1 = \frac{3200}{9} \approx 355.56 \text{ г}$$

Таким образом, начальная масса груза составляет примерно 355.56 грамм.

Ответ: 355.56 г