4. Прямая AD, перпендикулярная медиане BM треугольника ABC, делит угол BAC пополам. Найдите сторону AC, если сторона AB равна 3.

Решение: Пусть AD - перпендикулярна медиане BM треугольника ABC и делит угол BAC пополам. Обозначим точку пересечения AD и BM как O. Рассмотрим треугольник ABO и треугольник AMO. Угол BAO = углу MAO (так как AD - биссектриса), AO - общая сторона, угол AOB = углу AOM = 90° (так как AD перпендикулярна BM). Следовательно, треугольник ABO равен треугольнику AMO по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует, что AB = AM. Так как BM - медиана, то AM = MC. Следовательно, AC = 2 * AM = 2 * AB = 2 * 3 = 6. Ответ: 6