3. Прямая МК касается в точке М окружности с центром О, причем МК = 22. Найдите радиус окружности и длину отрезка ОК, если ∠MOK = 60°.

Пусть дана окружность с центром O. Прямая MK касается окружности в точке M, MK = 22, и угол ∠MOK = 60°.

Так как MK - касательная, то OM (радиус) перпендикулярен MK. Значит, треугольник OMK - прямоугольный, с прямым углом при вершине M.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. Известно, что ∠MOK = 60°. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае: $$tg(∠MOK) = \frac{MK}{OM}$$

Отсюда $$tg(60°) = \frac{22}{OM}$$

Тангенс 60° равен $$\sqrt{3}$$. Поэтому $$\sqrt{3} = \frac{22}{OM}$$

Выражаем OM (радиус): $$OM = \frac{22}{\sqrt{3}} = \frac{22\sqrt{3}}{3}$$

Теперь найдем OK (гипотенузу треугольника OMK). Можно воспользоваться косинусом угла ∠MOK: $$cos(∠MOK) = \frac{OM}{OK}$$

Отсюда $$cos(60°) = \frac{OM}{OK}$$

Косинус 60° равен $$\frac{1}{2}$$. Поэтому $$\frac{1}{2} = \frac{\frac{22\sqrt{3}}{3}}{OK}$$

Выражаем OK: $$OK = 2 \cdot \frac{22\sqrt{3}}{3} = \frac{44\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: Радиус окружности равен $$\frac{22\sqrt{3}}{3}$$, длина отрезка OK равна $$\frac{44\sqrt{3}}{3}$$