Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Докажите, что четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

<p>Пусть O - середина диагонали AC. Тогда AO = OC. Рассмотрим треугольники AOK и COM. \\ $$\angle OAK = \angle OCM$$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). \\ $$\angle AOK = \angle COM$$ (как вертикальные углы). Следовательно, треугольники AOK и COM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AK = CM. В параллелограмме ABCD, AD || BC. Значит, AK || CM. Следовательно, в четырехугольнике AMCK стороны AK и CM параллельны и равны. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. Значит, AMCK - параллелограмм, что и требовалось доказать.</p>