Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма ABCD и пересекает стороны ВС и AD в точках М и К соответственно. Докажите, что четырёхугольник АМСК — параллелограмм.

Пусть О - середина АС. Прямая проходит через О. Рассмотрим треугольники АОК и СОМ. AO = CO (по построению). ∠AOK = ∠COM (как вертикальные). Так как AD || BC, то ∠KAO = ∠MCO (как накрест лежащие при секущей АС). Следовательно, треугольники АОК и СОМ равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда АК = СМ. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC, значит АК || СМ. Четырёхугольник АМСК имеет две параллельные и равные стороны (АК = СМ и АК || СМ), следовательно, он является параллелограммом. Доказано.